Интеллектуальные информационные системы. Макаренко С.И. - 165 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГГУ им. Шолохова | Москва

Составители: 

Рубрика: 

164
17. ТЕОРИЯ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
17.1 Понятие нечеткого множества
В классической теории множеств непустое подмножество А из
универсального множества Х однозначно определяется характеристическим
функционалом
1,
( )
0,
A
если x A
I x
если x A
∈
=
∉
, (17.1)
т.е. подмножество А определяется как совокупность объектов, имеющих
некоторое общее свойство, наличие или отсутствие которого у любого
элемента х задается характеристическим функционалом. Причем
относительно природы объекта не делается никаких предположений.
Задание некоторого множества в этом случае эквивалентно заданию
его характеристического функционала, поэтому все операции над
множествами можно выразить через действия над их характеристическими
функционалами.
Основные операции объединения, пересечения и разности двух
подмножеств А и В из Х с характеристическими функционалами I
А
(х) < I
В
(х)
соответственно определяются следующим образом для каждого х Х:
I
А
U
B
(х) = I
А
(х) + I
В
(х) - I
А
(х) I
В
(х);
I
А∩B
(х) = I
А
(х) I
В
(х);
I
А\B
(х) = I
А
(х) - I
А∩B
(х) = I
А
(х)(1 - I
В
(х)) . (17.2)
Операции объединения и пересечения могут быть записаны также в
несколько ином виде:
I
А
U
B
(х) = max(I
А
(х), I
В
(х));
I
А∩B
(х) = min(I
А
(х), I
В
(х)). (17.3)
Однако такие понятия, как множество «больших» или «малых
величин», уже не являются множествами в классическом смысле, так как не
определены границы их степеней малости, которые позволили бы провести
классификационную процедуру (17.1) и четко отнести каждый объект к
определенному классу. Большинство классов реальных объектов и процессов
относятся именно к такому нечетко определенному типу. Поэтому возникает
необходимость введения понятия о нечетком подмножестве как о классе с
непрерывной градацией степеней принадлежности.
Для нечеткого подмножества, являющегося расширением понятия
множества в классическом смысле, на пространстве объектов Х={x}
вводится уже не функционал вида (17.1), а характеристическая функция, 
                      17. ТЕОРИЯ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ

                    17.1 Понятие нечеткого множества

     В классической теории множеств непустое подмножество А из
универсального множества Х однозначно определяется характеристическим
функционалом
                1, если x ∈ A
     I A ( x) =               ,                                 (17.1)
                0, если x ∉ A
т.е. подмножество А определяется как совокупность объектов, имеющих
некоторое общее свойство, наличие или отсутствие которого у любого
элемента х задается характеристическим функционалом. Причем
относительно природы объекта не делается никаких предположений.
     Задание некоторого множества в этом случае эквивалентно заданию
его характеристического функционала, поэтому все операции над
множествами можно выразить через действия над их характеристическими
функционалами.
     Основные операции объединения, пересечения и разности двух
подмножеств А и В из Х с характеристическими функционалами IА(х) < IВ(х)
соответственно определяются следующим образом для каждого х Х:
     IА U B(х) = IА(х) + IВ(х) - IА(х) IВ(х);
     IА∩B(х) = IА(х) IВ(х);
     IА\B(х) = IА(х) - IА∩B(х) = IА(х)(1 - IВ(х)) .              (17.2)
     Операции объединения и пересечения могут быть записаны также в
несколько ином виде:
     IА U B(х) = max(IА(х), IВ(х));
     IА∩B(х) = min(IА(х), IВ(х)).                                (17.3)
     Однако такие понятия, как множество «больших» или «малых
величин», уже не являются множествами в классическом смысле, так как не
определены границы их степеней малости, которые позволили бы провести
классификационную процедуру (17.1) и четко отнести каждый объект к
определенному классу. Большинство классов реальных объектов и процессов
относятся именно к такому нечетко определенному типу. Поэтому возникает
необходимость введения понятия о нечетком подмножестве как о классе с
непрерывной градацией степеней принадлежности.
     Для нечеткого подмножества, являющегося расширением понятия
множества в классическом смысле, на пространстве объектов Х={x}
вводится уже не функционал вида (17.1), а характеристическая функция,

                                           164

Страницы