Основы технической электродинамики. Малков Н.А - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

j
ν
d
ψ
E
U
jy
0′
0
U = const
ν = const
x
da
dn
()
()
yy
U
j
x
j
x
U
jyxd
jUd
dz
dW
∂
ν
∂
+
∂
∂
−=
∂
ν
∂
+
∂
∂
=
+
ν
+
= ,
приравнивая вещественные и мнимые части, находим, что по-
тенциал и функция потока связаны между собой условиями
Коши-Римана, т.е.
yx
U
∂
ν
∂
=
∂
∂
,
y
U
x ∂
∂
=
∂
ν
∂
. (2.18)
Продифференцируем первое равенство (2.18) по у, а второе по х и просуммируем их
2
22
y
yx
U
∂
ν∂
=
∂∂
∂
;
yx
U
x
∂∂
∂
−=
∂
ν∂
2
2
2
;
2
2
2
2
xy ∂
ν∂
+
∂
ν∂
; 0
2
=ν∇ ,
т.е. функция ν удовлетворяет уравнению Лапласа. Продифференцировав первое равенство (2.18) по х, а
второе по у, после их сложения находим, что и функция U удовлетворяет уравнению Лапласа.
Величина вектора напряженности поля равна модулю про-
изводной комплексного потенциала:
dZ
dW
E =
,
так как
dz
dW
y
j
xy
U
j
x
U
jEEE
yx
=
∂
ν∂
+
∂
ν∂
−=
∂
∂
−
∂
∂
−=+= .
Хотя метод конформных преобразований чрезвычайно упро-
щает задачу расчета поля, его основным недостатком является
отсутствие общего способа нахождения комплексного потенциа-
ла. Лишь для полей, ограниченных ломаной прямой, существует
формула Кристоффеля-Шварца, определяющая комплексный по-
тенциал [10].
Для примера рассмотрим расчет поля двух заряженных про-
водящих плоскостей, образующих угол α, но не соприкасающих-
ся и имеющих потенциалы ν
1
и ν
2
(рис. 2.7).
Это поле может быть преобразовано в однородное в координатной плоскости U , ν
с помощью
комплексного потенциала вида
W = k ln z + c = U + jν,
где k и с определяются из граничных условий.
В цилиндрической системе координат
α
=
j
rez , а rjz lnln
+
α
=
.
Тогда
(
)
ν
+
=
+
+
+
α
= jUjccrjkW
21
ln
Рис. 2.7
Рис. 2.6

Страницы