ВУЗ:
Составители:
подметил Мандельброт: «Почему геометрию часто называют холодной
и сухой? Одна из причин заключается в ее неспособности описать
форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака - это не сферы,
горы - не конусы, линии берега - это не окружности, и кора не является
гладкой, и молния не распространяется по прямой. Природа
демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой
уровень сложности».
Согласно Мандельброту, слово «фрактал» происходит от
латинских слов «fractus» - дробный и «frangere» - ломать, что отражает
суть фрактала, как «изломанного», нерегулярного множества
.
В качестве количественной меры структурности этих объектов
выступает фрактальная размерность d
f
. Для определения d
f
вспомним
сначала некоторые простые понятия обычной евклидовой геометрии.
Рассмотрим круговой или сферический o6ъект массой М и радиусом R.
Объект может либо быть сплошным (однородная плотность), либо
состоять из полостей, но в любом случае предположим, что его
плотность не зависит от размера (рис. 6.2). Следовательно, при
увеличении радиуса объекта от R до 2R, его масса увеличивается в R
2
раз, если объект круглый, или в R
3
раз, если он сферический.
Рис. 6.2. Число «точек» на единицу
площади в каждом круге одинаково
Эту связь массы и длины можно записать в виде
M(R) ~ R
d
, (6.1)
где d – размерность пространства.
Объект, у которого масса и размер связаны соотношением (6.1),
называется компактным. Данное соотношение означает, что если
линейный размер компактного объекта увеличивается в R раз при
неизменной форме, то его масса увеличивается в R
d
раз. Это
масштабное соотношение масса-размер тесно связано с интуитивным
представлением о размерности, а также является полезным обобщением
на размерности больше трех. Заметим, что если масса М и размер R
удовлетворяют соотношению (6.1), то масштабное соотношение для
плотности
ρ
= M/R
d
имеет вид
ρ
= R
0
. (6.2)
109
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- …
- следующая ›
- последняя »
