Пособие по уравнениям в частных производных. Теория и методы решения задач. Малютина О.П. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

23
Вначале
a
k
t< волны налегают одна в другую , а затем )(
a
k
t> расходятся в
разные стороны друг от друга .
В каждой точке x струны после прохождения обеих волн (а для точек,
лежащих вне области начального возмущения, после прохождения только
одной) наступает покой (u=0).
Пусть точка x струны лежит правее промежутка (-k;k), т.е . kx > . При
a
kx
t
−
< и (x,t)=0 , т.е . волна до точки x еще не дошла.
С момента времени
a
ka
t
−
= точка x начнет движение (начальное
прохождение переднего фронта прямой волны ). При
a
kx
t
+
> снова наступает
покой ; u(x,t)=0. Момент времени
a
kx
t
+
= соответствует прохождению
заднего фронта прямой волны через точку.
II. Начальное смещение
)(),( xtxu
α
=
равно нулю, а )()0,( xx
t
u
β=
∂
∂
отлично
от нуля лишь в конечном промежутке
[
]
kk ;
−
(начальный импульс)
,0
0
2
2
2
2
2
=
∂
∂
=
∂
∂
= t
u
x
u
a
t
u
)(
0
x
t
u
t
β=
∂
∂
=
Рис. 6
Пусть график )( x
β
имеет вид , изображенный на рис. 6, т.е .
[
]
[]
−∉
−∈
=
kkx
kkx
x
;,0
;,1
)( β
Решение задачи Коши в этом случае задается формулой
dyy
a
txu
atx
atx
∫
+
−
= )(
2
1
),( β
(6.2)
Обозначим
,)(
1
)(
∫
−
=
x
k
dyy
a
xF β
(6.3) 
                                                                   23


                        k                                                                        k
     Вначале t < волны налегают одна в другую, а затем (t > ) расходятся в
                        a                                                                        a
разные стороны друг от друга.
    В каждой точке x струны после прохождения обеих волн (а для точек,
лежащих вне области начального возмущения, после прохождения только
одной) наступает покой (u=0).
    Пусть точка x струны лежит правее промежутка (-k;k), т.е. x >k . При
   x −k
t<      и (x,t)=0 , т.е. волна до точки x еще не дошла.
     a
                                 a −k
     С момента времени t =             точка x начнет движение (начальное
                                   a
                                                          x +k
прохождение переднего фронта прямой волны). При t >            снова наступает
                                                            a
                                            x +k
покой; u(x,t)=0. Момент времени t =               соответствует прохождению
                                              a
заднего фронта прямой волны через точку.

                                                                                          ∂u
     II. Начальное смещение u ( x, t ) =α ( x) равно нулю, а                                 ( x,0) =β ( x) отлично
                                                                                          ∂t
от нуля лишь в конечном промежутке [−k; k ] (начальный импульс)


     ∂ 2u      2 ∂ u
                  2
            =a
     ∂t 2        ∂x 2       ∂u
                                        =β ( x )
     u t =0 =0,             ∂t   t =0




                                                                                 Рис. 6


     Пусть график β (x) имеет вид, изображенный на рис. 6, т.е.
                                                                � 1, x ∈[−k ; k ]
                                                      β ( x ) =�
                                                                 � 0, x ∉[−k ; k ]
Решение задачи Коши в этом случае задается формулой
                                                                      x +at
                                                                  1
                                                                  2a x −∫at
                                                   u ( x, t ) =           β ( y )dy                           (6.2)

Обозначим
                                                                        x
                                                                   1
                                                                   a −∫
                                                      F ( x) =          β ( y )dy ,                           (6.3)
                                                                      k

Страницы