Пособие по уравнениям в частных производных. Теория и методы решения задач. Малютина О.П. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

21
Рекомендуемые упражнения:
Решить задачу Коши
1. 032
2
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
−
∂∂
∂
−
∂
∂
y
u
y
yx
u
xy
x
u
x
2. ,
2
2
2
2
x
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂
если
2
0
xu
t
=
=
0
0
=
∂
∂
=t
t
u
3. ,4
2
2
2
2
x
u
t
u
∂
∂
=
∂
∂
если
0
0
=
=t
u
x
t
u
t
=
∂
∂
=0
4. Найти форму струны , определяемой уравнением и начальными условиями
,
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
если
xu
t
sin
0
=
=
1
0
=
∂
∂
=t
t
u
.
Ответы :
1. )(4)()()14(
10
33
xxxx ϕϕψ +=+
2.
22
txu +=
3.
xt
u
=
4.
tatxu
+
=
cossin
7. Графическое исследование решения задачи Коши
Рассмотрим два случая:
I. ,0
≠
α
0
≡
β
II. ,0
≡
α
0
≠
β
I. начальные скорости
точек струны равны нулю,
а начальное смещение
имеет место лишь в конечном
промежутке
kk ;
−
струны ,
т . е . 0)(
=
x
α
при
kkx ;
−
∉
),(
0
2
2
2
2
2
xu
x
u
a
t
u
t
α =
∂
∂
=
∂
∂
=
0'
0
=
= t
t
u
Рис.4
Пусть график функции, описанной в п.6, имеет вид , изображенный на рис. 4.
Решение задачи выражается формулой
2
)()(
),(
atxatx
txu
+
+
−
=
α
α
(7.1)
Решение (7.1) есть сумма двух волн (прямой и обратной ),
распространяющихся вправо и влево со скоростью a, причем начальная
форма каждой волны определяется графиком функции
2
)( x
α
, равной
половине начального смещения. 
                                                                   21
         Рекомендуемые упражнения:

Решить задачу Коши
         ∂ 2u       ∂ 2u      2 ∂ u
                                 2
1. x 2        −2 xy      −3 y        =0
         ∂x 2       ∂x∂y        ∂y 2
      ∂ 2u ∂ 2u                   ∂u
2.         = 2 , если u t =0 =x 2                          =0
      ∂t 2
            ∂x                    ∂t               t =0

      ∂ 2u    ∂ 2u                  ∂u
3.         =4      , если u t =0 =0                        =x
      ∂t 2
              ∂x 2
                                    ∂t              t =0

4. Найти форму струны, определяемой уравнением и начальными условиями
       ∂ 2u    2 ∂ u
                  2
                                           ∂u
            =a        , если u t =0 =sin x                         =1 .
       ∂t 2
                 ∂x 2
                                           ∂t               t =0



         Ответы:
1.    (4 x 3 +1)ψ ( x 3 ) =ϕ0 ( x ) +4ϕ1 ( x)
2.    u =x 2 +t 2
3.    u =xt
4.    u =sin x cos at +t

                   7. Графическое исследование решения задачи Коши

         Рассмотрим два случая:
I. α ≠0, β ≡0
II. α ≡0, β ≠0
      I.      начальные скорости
точек струны равны нулю,
 а начальное смещение
имеет место лишь в конечном
промежутке [−k; k ] струны,
 т.е. α ( x) =0 при
         x ∉[−k ; k ]
∂ u
  2
          2 ∂ u
              2
       =a
∂t 2        ∂x 2                                                               Рис.4
u t =0 =α ( x),         u t ' t =0 =0
Пусть график функции, описанной в п.6, имеет вид, изображенный на рис. 4.
    Решение задачи выражается формулой
                                                    α ( x −at ) +α ( x +at )
                                        u ( x, t ) =                                               (7.1)
                                                                2
    Решение (7.1) есть сумма двух волн (прямой и обратной),
распространяющихся вправо и влево со скоростью a, причем начальная
                                                                                       α (x)
форма каждой волны определяется графиком функции                                             ,   равной
                                                                                         2
половине начального смещения.

Страницы