Пособие по уравнениям в частных производных. Теория и методы решения задач. Малютина О.П. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

19
6. Задача Коши для волнового уравнения
Задача Коши состоит в нахождении решения уравнения
,
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
(
)
,0,
>
∞
<
<
∞
−
tx (6.1)
удовлетворяющего начальным условиям
),(
0
xu
t
α =
=
),(
0
x
t
u
t
β=
∂
∂
=
(
)
,
∞
<
<
∞
−
x (6.2)
Запишем решение Даламбера для уравнения (6.1)
)()(),( atxatxtxu
+
+
−
=
ψ
ϕ
.
Определим функции
и
ψ
таким образом, чтобы выполнялись начальные
условия (6.2). Подставляя в (6.2), получим систему уравнении для
определения )( x
ϕ
и )( x
ψ
).()(')('
)()()(
xxaxa
xxx
βψϕ
α
ψ
ϕ
=+−
=
+
Интегрируя второе равенство, имеем
,)(
1
)()(
)()()(
0
Cdyy
a
xx
xxx
x
+=+−
=
+
∫
βψϕ
α
ψ
ϕ
(6.3)
где C – произвольная постоянная.
Из полученной системы находим )( x
ϕ
и )( x
ψ
2
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
)(
2
1
)(
2
1
)(
0
0
C
dyy
a
xx
C
dyy
a
xx
x
x
++=
−−=
∫
∫
βαψ
βαϕ
т.е .
Тогда функция имеет вид
dyy
e
atxatx
txu
atx
atx
)(
2
1
2
)()(
),(
∫
+
−
+
++−
= β
αα
. (6.4)
Легко проверить , что формула (6.4) действительно дает решение задачи
Коши (6.1)-(6.2). Следует лишь потребовать , чтобы функция )( x
α
была
дважды непрерывно дифференцируема, а функция )( x
β
один раз непрерывно
дифференцируема.
Пример. Найти решение задачи Коши
0
3
032
0
2
0
2
22
2
2
=
∂
∂
=
=
∂
∂
−
∂∂
∂
+
∂
∂
=
=
y
y
y
u
xu
y
u
yx
u
x
u
Проверим, что уравнение гиперболического типа . Действительно :
0431
2
>=+=− ACB - гиперболический тип 
                                                      19
                6. Задача Коши для волнового уравнения

     Задача Коши состоит в нахождении решения уравнения
                      ∂ 2u    2 ∂ u
                                 2
                           =a        ,         (−∞ 0),                         (6.1)
                      ∂t 2      ∂x 2
удовлетворяющего начальным условиям
                                   ∂u
                u t =0 =α ( x),                =β ( x),             (−∞ 0 - гиперболический тип
 2

Страницы