Пособие по уравнениям в частных производных. Теория и методы решения задач. Малютина О.П. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

17
)( atx
−
ϕ
1
C
Пример.
02
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
y
u
y
y
u
y
x
u
x
В силу того , что 0
222
>=− yxACB - данное уравнение гиперболического
типа
,
lnlnln
0
0
1
1
2
x
y
C
x
y
Cxy
x
x
y
y
xydxdyx
=
=
=−
=
∂
−
∂
=−
ξ
xy
Cxy
Cxy
xydxdyx
=
=
=+
=+
η
2
2
2
lnlnln
0
0
2
2
1
3
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
ηξ
η
ηξ
ξ
ηξ
η
η
ξ
ξ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
−
∂∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
u
x
yu
y
u
y
x
yu
x
yu
x
u
x
u
x
u
y
u
y
u
y
u
00
1
2
1
2
2
22
22
2
2
2
ηξ
η
ηξ
ξ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂ uu
x
u
x
x
u
x
u
y
u
0)2(
2
2)()(2
2222
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
=−
∂
∂
+
+−
∂
∂
+−
∂
∂
+−−
∂∂
∂
+
−
∂
∂
xy
u
x
y
x
yu
yxyx
u
yy
u
x
y
x
yu
ηξηηξξ
0)2(4
2
2
=−
∂
∂
+
∂∂
∂
− xy
uu
y
ηηξ
                                                 17




                                             ϕ ( x −at )

                             C1




    Пример.
                                       ∂ 2u     2 ∂ u
                                                   2
                                                            ∂u
                                  x2        − y        −2 y    =0
                                       ∂x 2
                                                  ∂y 2
                                                            ∂y
    В силу того, что B 2 −AC =x 2 y 2 >0 - данное уравнение гиперболического
типа
    x 2 dy −xydx =0        x 2 dy +xydx =0
    ∂y ∂x                  ln y +ln x =ln C 2
         − =0
     y     x               xy =C 2
    ln y −ln x =ln C1
    y
      =C1
    x
       y
    ξ= ,                   η =xy
       x
                 ∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η ∂u 1 ∂u
                   =     +     =    + x
                 ∂y ∂ξ ∂y ∂η ∂y ∂ξ x ∂η
                 ∂ 2u ∂ 2u y 2     ∂ 2u �     y �       ∂ 2 u 2 ∂u 2 y ∂u
                      =        +2         � −     � y +       y +       + 0
                 ∂x 2 ∂ξ 2 x 4    ∂ξ∂η � x 2 �          ∂η 2      ∂ξ x 3 ∂η
                  ∂2u     ∂2u 1        ∂ 2u 1          ∂ 2 u 2 ∂u        ∂u
                        =         +2                x+        x + 0+ 0
                  ∂y 2
                          ∂ξ x
                            2   2
                                       ∂ξ∂η x          ∂η   2
                                                                  ∂ξ     ∂η
  ∂ 2u � y 2 y 2 �        ∂ 2u                  ∂ 2u 2 2               ∂u � y 2 y � ∂u
     2 �
         �   −  2 �
                    � +2       ( −y  2
                                       −y 2
                                            ) +      ( x y −x 2 y 2 ) + � −2 + � + (−2 xy ) =0
  ∂ξ � x   2
               x �       ∂ξ∂η                  ∂η  2
                                                                       ∂ξ � x x � ∂η
                                 ∂ u ∂u
                                   2
                         −4 y 2         + ( −2 xy ) =0
                                ∂ξ∂η ∂η

Страницы