Пособие по уравнениям в частных производных. Теория и методы решения задач. Малютина О.П. - 16 стр.

                                                     16
    Легко проверить, что функция u(x,t), определяемая формулой (5.5),
является решением уравнения (5.1), если ϕ и ψ - произвольные, дважды
непрерывно дифференцируемые функции.
    Действительно,
                                   u" x 2 =ϕ" ( x −at ) +ψ " ( x +at )
                                                                               где
                                   u"t 2 =a 2ϕ" ( x −at ) +a 2ψ " ( x +at ),
                            ∂ 2ϕ                            ∂ 2ψ
                ϕ" (ξ ) =                      ψ " (η ) =        .
                            ∂ξ 2                            ∂η 2
Следовательно, (5.5) удовлетворяет уравнению (5.1)
     Выясним физический смысл решения (5.5). Рассмотрим функцию
                                         u1 =ϕ ( x −at )       (5.6)
Предположим, что независимые переменные изменяются так, что x-at=c,
                    dx
тогда dx-adt=0, т.е.   =a . В этом случае смещение струны, определяемое
                    dt
формулой (5.6), будет оставаться постоянным, равным ϕ (c) . Само явление,
описываемое функцией ϕ (x −at ), называется распространением прямой
волны. Таким образом, решение (5.6) представляет прямую волну, которая
распространяется в положительном направлении оси Ox со скоростью a.
Аналогично u 2 ( x, t ) =ψ ( x, t ) представляет обратную волну, которая
распространяется в отрицательном направлении оси Ox со скоростью a.
Таким образом, решение (5.5) является суммой прямой и обратной волн.
    Это приводит к следующему способу графического построения формы
струны в любой момент времени t. В координатной системе (x,u) строим
кривые u1 =ϕ ( x) , u 2 =ψ ( x) , изображающие прямую и обратную волны в
начальный момент времени t=0, и затем, не изменяя их формы, перемещаем
эти кривые со скоростью a в разные стороны вдоль оси Ox. Чтобы получить
график положения струны в момент t=0, достаточно теперь построить график
суммы смещенных функций u1 ( x, t ) =ϕ ( x −at ) и u 2 ( x, t ) =ψ ( x −at ).
    Прямые на плоскости (x,t) вида
                              x −at =C1 , x +at =C 2                          (5.7)
называются характеристиками уравнения колебаний струны.
    Вдоль первой характеристики функция ϕ ( x −at ) сохраняет постоянное
значение, равное ϕ (C1 ) . Аналогично для обратной волны, функция ψ ( x +at )
сохраняет постоянное значение ψ (C 2 ) вдоль прямой x +at =C 2 .
    Графическое изображение описанного процесса распространения
прямой волны дано на рис. 3. Поскольку на каждой прямой x −at =C1
значение u ( x, t ) =ϕ (C1 ) постоянно, то говорят, что начальные возмущения
распространяются по характеристикам.