Пособие по уравнениям в частных производных. Теория и методы решения задач. Малютина О.П. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

14
dx
t
u
x
x
x
2
2
2
1
)(
∂
∂
−
∫
ρ (4.3)
Запишем условие равенства нулю суммы проекций всех сил ,
действующих на участок
21
MM : сил натяжения, внешней силы и силы
инерции, т.е .
0),()(
2
1
2
2
2
2
0
=
−
∂
∂
−
∂
∂
∫
dxtxp
t
u
x
x
u
T
x
x
ρ
Отсюда, в силу непрерывности подынтегральной функции и
произвольности
1
x и
2
x , следует, что подынтегральная функция должна
равняться нулю для каждой точки струны в любой момент времени t , т.е .
),()(
2
2
0
2
2
txp
x
u
T
t
u
x +
∂
∂
=
∂
∂
ρ (4.4)
Это есть уравнение колебаний струны .
Если
const
=
ρ
( случай однородной струны ) уравнение (4.4) примет вид
),(
2
2
2
2
2
txf
x
u
a
t
u
+
∂
∂
=
∂
∂
, (4.5)
где
,
0
ρ
T
a =
ρ
),(
),(
txp
txf =
. (4.6)
Если внешняя сила отсутствует, то p(x,t)=0, и получаем уравнение свободных
колебаний струны :
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
. (4.7)
Для полного определения процесса колебания струны необходимо кроме
уравнения (7) задать и некоторые дополнительные условия, вытекающие из
физического смысла задачи. Например, в начальный момент времени t=0
нужно задать начальное положение и начальную скорость
0=
∂
∂
t
t
u
во всех
точках струны . Эти условия называются начальными условиями
),(
0
xu
t
α =
=
).(
0
x
t
u
t
β=
∂
∂
=
(4.8)
В случае ограниченной струны (струна имеет конечную длину ), нужно
указать , что происходит на ее концах. Таким образом возникают граничные
условия. Если струна закреплена , то смещения на концах равны нулю и
граничные условия имеют вид :
,0
0
=
= x
u
.0=
= lx
u
).0(
≥
t (4.9)
Если концы колеблются, то
),(
1
0
tu
x
µ =
=
)(
2
tu
lx
µ=
=
. (4.9') 
                                                     14
                                              x2
                                                        ∂ 2u
                                            −∫ρ( x)          dx                                            (4.3)
                                              x1        ∂t 2
    Запишем условие равенства нулю суммы проекций всех сил,
действующих на участок M 1 M 2 : сил натяжения, внешней силы и силы
инерции, т.е.
                              �                                  �
                         x2
                                 ∂ 2u          ∂ 2u
                         ∫
                         x1 �
                               T
                              � 0 2
                                 ∂x
                                      −ρ ( x )
                                               ∂t 2
                                                    − p ( x, t )� dx =0
                                                                   �
    Отсюда, в силу непрерывности подынтегральной функции и
произвольности x1 и x2 , следует, что подынтегральная функция должна
равняться нулю для каждой точки струны в любой момент времени t, т.е.
                                           ∂ 2u     ∂ 2u
                                  ρ( x )        =T0      + p ( x, t )                                      (4.4)
                                           ∂t 2     ∂x 2
 Это есть уравнение колебаний струны.

Если ρ =const ( случай однородной струны) уравнение (4.4) примет вид
                                   ∂ 2u    2 ∂ u
                                              2
                                        =a        + f ( x, t ) ,                                           (4.5)
                                   ∂t 2      ∂x 2
где
                                       T0                         p ( x, t )
                         a=               ,        f ( x, t ) =              .                             (4.6)
                                       ρ                             ρ
Если внешняя сила отсутствует, то p(x,t)=0, и получаем уравнение свободных
колебаний струны:
                                           ∂ 2u    2 ∂ u
                                                      2
                                                =a        .                                                (4.7)
                                           ∂t 2      ∂x 2
    Для полного определения процесса колебания струны необходимо кроме
уравнения (7) задать и некоторые дополнительные условия, вытекающие из
физического смысла задачи. Например, в начальный момент времени t=0
                                                                                            ∂u
нужно задать начальное положение и начальную скорость                                                   во всех
                                                                                            ∂t   t =0

точках струны. Эти условия называются начальными условиями
                                                                     ∂u
                                            u t =0 =α ( x),                      =β ( x).                  (4.8)
                                                                     ∂t   t =0

    В случае ограниченной струны (струна имеет конечную длину), нужно
указать, что происходит на ее концах. Таким образом возникают граничные
условия. Если струна закреплена, то смещения на концах равны нулю и
граничные условия имеют вид:
                      u x =0 =0,       u x =l =0. (t ≥0).             (4.9)
Если концы колеблются, то
                      u x =0 =µ1 (t ),       u x =l =µ 2 (t ) .      (4.9')

Страницы