Пособие по уравнениям в частных производных. Теория и методы решения задач. Малютина О.П. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

15
Таким образом, физическая задача о колебании струны свелась к
математической задаче : найти решение уравнения (4.4), удовлетворяющего
некоторым начальным и граничным условиям .
Можно рассматривать колебания полубесконечной или бесконечной
струны , когда один или оба конца находится бесконечно далеко. Оба эти
случая являются математической идеализацией струны , длина которой
настолько велика , что за рассматриваемый период времени наблюдения за ее
колебаниями, влиянием условий на концах струны можно пренебречь .
5. Метод характеристик Даламбера для волнового уравнения
Рассмотрим уравнение свободных колебаний бесконечной струны :
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
(
)
+∞
<
<
∞
−
x
. (5.1)
Очевидно , что это уравнение гиперболического типа , так как
A=1, B=0,
2
aC −= , .0
22
>=− aACB
Произведем в уравнении (1) замену переменных
,atx
−
=
ξ
x
+
=
η
. (5.2)
Тогда
2
22
2
2
2
2
2
η
ηξ
ξ ∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂ uuu
x
u
(5.3)
Подставляя (5.3) в уравнение свободных колебаний струны (5.1), приходим к
уравнению в новых переменных
0
2
=
∂∂
∂
ηξ
u
(5.4)
Запишем уравнение (5.4) в виде
0=
∂
∂
∂
∂
ξη
u
(5.4')
Рассматривая
ξ
как параметр , имеем из (5.4') ),(
),(
ξ
ξ
η
ξ
f
u
=
∂
∂
где )(
ξ
f -
произвольная функция
ξ
. Интегрируя полученное уравнение по
ξ
и
рассматривая
η
как параметр , находим
),()( ηψξξ +=
∫
dfu
где
)(
η
ψ
- произвольная функция от
η
.
Пусть
∫
= ),()( ξϕξξ df
тогда )()(),(
η
ψ
ξ
ϕ
η
ξ
+
=
u , или возвращаясь к старым
переменным (x,t) , получим
)()(),( atxatxtxu
+
+
−
=
ψ
ϕ
(5.5) 
                                               15
    Таким образом, физическая задача о колебании струны свелась к
математической задаче: найти решение уравнения (4.4), удовлетворяющего
некоторым начальным и граничным условиям.
     Можно рассматривать колебания полубесконечной или бесконечной
струны, когда один или оба конца находится бесконечно далеко. Оба эти
случая являются математической идеализацией струны, длина которой
настолько велика, что за рассматриваемый период времени наблюдения за ее
колебаниями, влиянием условий на концах струны можно пренебречь.




       5. Метод характеристик Даламбера для волнового уравнения

     Рассмотрим уравнение свободных колебаний бесконечной струны:
                          ∂ 2u    2 ∂ u
                                     2
                               =a                   (−∞ 0.
Произведем в уравнении (1) замену переменных
                         ξ =x −at , η = x +at .                                       (5.2)
  Тогда
                              ∂ 2u ∂ 2u     ∂ 2u   ∂ 2u
                                  =     +2       +                                    (5.3)
                              ∂x 2 ∂ξ 2    ∂ξ∂η ∂η 2
Подставляя (5.3) в уравнение свободных колебаний струны (5.1), приходим к
уравнению в новых переменных
                                              ∂ 2u
                                                   =0                                 (5.4)
                                             ∂ξ∂η
Запишем уравнение (5.4) в виде
                                            ∂ � ∂u �
                                                �      � =0                           (5.4')
                                           ∂η �� ∂ξ ��
                                             ∂u (ξ ,η )
     Рассматривая ξ как параметр, имеем из (5.4')       = f (ξ ), где f (ξ ) -
                                                ∂ξ
произвольная функция ξ . Интегрируя полученное уравнение по ξ и
рассматривая η как параметр, находим
                                       u =∫f (ξ )dξ +ψ (η ),
где ψ (η ) - произвольная функция от η .
       Пусть ∫f (ξ )dξ =ϕ (ξ ), тогда u (ξ ,η ) =ϕ (ξ ) +ψ (η ) , или возвращаясь к старым
переменным (x,t) , получим
                                 u ( x, t ) =ϕ ( x −at ) +ψ ( x +at )                  (5.5)

Страницы