Пособие по уравнениям в частных производных. Теория и методы решения задач. Малютина О.П. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

13
т.е . в процессе малых колебаний удлинения струны не происходит,
следовательно , в силу закона Гука величина натяжения струны не меняется
со временем. Покажем, что величину натяжения T можно считать
независящей от x, т.е .
0
TT
≈
. С этой целью рассмотрим участок
21
MM струны .
)();(
21
xTxT - силы натяжения. Кроме сил натяжения на участок
21
MM
действуют и силы инерции. По принципу Даламбера сумма проекции всех
сил на ось Ox и на ось Ou должна равняться нулю. Так как мы рассматри-
ваем только поперечные колебания, то силы инерции и внешние силы
направлены параллельно Ou, тогда
0)(cos)()(cos)(
2211
=
−
xxTxxT
α
α
, где
)( x
α
-
угол между касательной в точке с абсциссой x к струне в момент времени t с
положительным направлением оси Ox.
В силу малости колебаний
1
1
1
)(1
1
)(cos
22
≈
+
=
+
=
x
U
xtg
x
α
α
и, следовательно ,
)()(
21
xTxT
≈
.
Отсюда в силу произвольности
1
x и
2
x следует, что T не зависит от x, т.е .
можно считать , что
0
TT
≈
для всех x и t.
Проекции на ось Ou сил натяжения, действующих в точках
1
M и
2
M
равняется
[
]
,)(sin)(sin
120
xxTY
α
α
−
=
однако ,
1)(1
)(
)(sin
22
x
u
Ux
Ux
xtg
xtg
x
∂
∂
+
+
=
+
=
α
α
α
и , следовательно ,
∂
∂
−
∂
∂
=
==
12
0
xxxx
x
u
x
u
TY
Замечая, что
,
2
1
12
2
2
dx
x
u
x
u
x
u
x
x
xxxx
∫
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
==
окончательно получим
dx
x
u
TY
x
x
∫
∂
∂
=
2
1
2
2
0
(4.1)
Обозначим через p(x,t) внешнюю силу, действующую на струну
параллельно оси Ou и рассчитанную на единицу длины . Тогда проекция на
ось Ou внешней силы, действующей на участок
21
MM струны , будет равна
∫
2
1
),(
x
x
dxtxp (4.2)
Пусть )( x
ρ
- линейная плотность струны , тогда сила инерции участка
21
MM струны будет равна 
                                                            13
т.е. в процессе малых колебаний удлинения струны не происходит,
следовательно, в силу закона Гука величина натяжения струны не меняется
со временем. Покажем, что величину натяжения T можно считать
независящей от x, т.е. T ≈T0 . С этой целью рассмотрим участок M 1 M 2 струны.
     T ( x1 ); T ( x2 ) - силы натяжения. Кроме сил натяжения на участок M 1 M 2
действуют и силы инерции. По принципу Даламбера сумма проекции всех
сил на ось Ox и на ось Ou должна равняться нулю. Так как мы рассматри-
ваем только поперечные колебания, то силы инерции и внешние силы
направлены параллельно Ou, тогда T ( x1 ) cosα ( x1 ) −T ( x2 ) cosα ( x2 ) =0 , где α (x) -
угол между касательной в точке с абсциссой x к струне в момент времени t с
положительным направлением оси Ox.
     В силу малости колебаний
                                                               1                          1
                             cos α ( x) =                                      =                          ≈1
                                                    1 +tg α ( x)   2
                                                                                       1 +U x
                                                                                                      2


      и, следовательно,
                                         T ( x1 ) ≈T ( x2 ) .
   Отсюда в силу произвольности x1 и x2 следует, что T не зависит от x, т.е.
можно считать, что T ≈T0 для всех x и t.
    Проекции на ось Ou сил натяжения, действующих в точках M 1 и M 2
равняется
                           Y =T0 [sin α ( x 2 ) −sin α ( x1 )],
                                                        tgα ( x)      Ux     ∂u
                           однако sin α ( x) =                    =         + ,
                                                     1 +tg α ( x)
                                                              2
                                                                    1 +Ux 2  ∂x
     и, следовательно,
                                          � � ∂u �                           � ∂u �              �
                                   Y =T0 � �         �                     −�        �           �
                                           �� � ∂x �               x =x2      � ∂x �     x =x1   ��
     Замечая, что
                                                                                   x
                                 � ∂u �                    � ∂u �                   ∂ 2u
                                                                                  2

                                  �        �             −�        �           = ∫ 2 dx,
                                    � ∂x �      x =x2       � ∂x �     x =x1     x1 ∂x

окончательно получим
                                                           x
                                                      2
                                                        ∂ 2u
                                               Y =T0 ∫ 2 dx                                                    (4.1)
                                                     x1 ∂x

    Обозначим через p(x,t) внешнюю силу, действующую на струну
параллельно оси Ou и рассчитанную на единицу длины. Тогда проекция на
ось Ou внешней силы, действующей на участок M 1 M 2 струны, будет равна
                                                    x2

                                                    ∫p( x, t )dx
                                                    x1
                                                                                                               (4.2)

     Пусть ρ(x) - линейная плотность струны, тогда сила инерции участка
M 1 M 2 струны будет равна

Страницы