Пособие по уравнениям в частных производных. Теория и методы решения задач. Малютина О.П. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

12
4. Уравнение колебаний струны
Струной называется тонкая нить , которая может свободно изгибаться,
т.е . не оказывает никакого сопротивления изменению ее формы , не
связанного с изменением ее длины .
Пусть в положении равновесия струна совпадает с осью Ox. Мы
предполагаем, что струна имеет длину l и натянута с силой T, x=0 - левый
конец струны (тогда x=l правый). Обозначим u(x,t) смещение точки x струны
в момент времени t. Возьмем ось OxOu
⊥
и будем рассматривать лишь
поперечные колебания, когда всякая точка x смещается только
перпендикулярно Ox. При каждом фиксированном значении t график
функции u(x,t), очевидно , дает форму струны в этот момент времени ( рис. 1):
Рассматривая далее только малые
колебания струны , будем считать , что
смещение u(x,t), а также производная
t
u
∂
∂
столь малы, что их квадратами и
произведениями можно пренебречь по
сравнению с самими этими
величинами. Выделим произвольный
участок
[
]
21
, xx струны , и пусть при
колебании этот отрезок
деформируется в некоторый отрезок
21
MM (рис. 2). Вычислим длину дуги
21
MM
12
2
1
2
121
2
1
)(1 xxdxdx
x
u
dSS
x
xMM
x
x
−=≈
∂
∂
+==
∫∫∫
(в силу того , что 0
2
≈
∂
∂
x
u
)
u
2
M T(
2
x )
2
α
1
M
1
α
T(
1
x )
1
x
2
x x
Рис.2 
                                                  12
                           4. Уравнение колебаний струны

     Струной называется тонкая нить, которая может свободно изгибаться,
т.е. не оказывает никакого сопротивления изменению ее формы, не
связанного с изменением ее длины.
     Пусть в положении равновесия струна совпадает с осью Ox. Мы
предполагаем, что струна имеет длину l и натянута с силой T, x=0 - левый
конец струны (тогда x=l правый). Обозначим u(x,t) смещение точки x струны
в момент времени t. Возьмем ось Ou ⊥Ox и будем рассматривать лишь
поперечные колебания, когда всякая точка x смещается только
перпендикулярно Ox. При каждом фиксированном значении t график
функции u(x,t), очевидно, дает форму струны в этот момент времени ( рис. 1):

                                                           Рассматривая далее только малые
                                                       колебания струны, будем считать, что
                                                       смещение u(x,t), а также производная
                                                       ∂u
                                                          столь малы, что их квадратами и
                                                       ∂t
                                                       произведениями можно пренебречь по
                                                       сравнению         с    самими    этими
                                                       величинами. Выделим произвольный
                                                       участок [x1 , x2 ] струны, и пусть при
                                                       колебании            этот       отрезок
                                                       деформируется в некоторый отрезок
M 1 M 2 (рис. 2). Вычислим длину дуги M 1 M 2
                 x2                 x                                            2
                          ∂u         2
                                                                     � ∂u �
    S1 =   ∫ dS = ∫   1 +( ) 2 dx ≈ ∫dx =x 2 −x1 (в силу того, что �         �       ≈0 )
        M 1M 2   x1
                          ∂x        x1                                � ∂x �

           u                                 M2        T( x2 )   α2




                        M1              α1
                 T( x1 )



                              x1                  x2                      x




                                              Рис.2

Страницы