Пособие по уравнениям в частных производных. Теория и методы решения задач. Малютина О.П. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

10
0)
2
2
2
(sin
2
sec
sin
2
sec)
2
(sin
22
sec
2
1
sin
2
sec
4
1
2
22
2
2
2
22
22
2
2
2
22242
2
2
=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
−
∂∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
η
ηξ
ξ
ξ
ηξ
ξ
ξ
ξ
zx
tg
zx
tg
z
yx
x
y
z
x
x
y
zx
tg
z
x
x
tg
x
y
z
x
x
y
z
В процессе простейших арифметических действий члены , содержащие
2
2
ξ∂
∂ z
и
ηξ ∂∂
∂ z
2
, взаимно уничтожаются, и уравнение принимает вид
0sin
2
secsin
22
sec
2
1
2
2
2
222
=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
x
x
y
zz
yx
x
tg
x
y
z
ξ
η
ξ
,
или
x
zz
y sin
2
2
ξ
η
∂
∂
=
∂
∂
.
Так как ,
2
1
2
2
sin
2
x
tg
x
tg
x
+
= ,
2 η
ξ
=
x
tg то .
2
sin
22
ηξ
ξη
+
=x
Окончательно получаем
ξ
ηξ
ξ
η
∂
∂
+
=
∂
∂ zz
222
2
2
Для уравнения эллиптического типа интегралы уравнения характеристик
имеют вид
1
),(),( Cyxiyx
=
±
ψ
ϕ
, где
),( yx
ϕ
и
),( yx
ψ
- действительные
функции.
С помощью подстановки
),,( yx
ϕ
ξ
=
),( yx
ψ
ψ
=
уравнение приводится к каноническому
виду. (1)
Пример 3.
Привести к каноническому виду уравнение
Решение . Здесь
1
=
1
−
=
B
2
=
C 0121
2
<−=−=− ACB - уравнение
эллиптического типа .
Уравнение характеристик имеет вид
0)(22)(
22
=++ dxdxdydy или
02'2'
2
=++ yy
Отсюда iy
±
−
=
1' , получаем два семейства мнимых характеристик:
1
Cixxy
=
−
+
и
022
2
22
2
2
=
∂
∂
+
∂∂
∂
−
∂
∂
y
z
yx
z
x
z
                                               10
1 ∂2 z 2     4 x          1 ∂z        2 x    x 2       ∂2 z x ∂2 z 2          x
       y sec     sin 2
                       x +      y sec     tg  sin x −(      tg +     ) y sec 2 sin x −
4 ∂ξ 2
               2           2 ∂ξ         2 2            ∂ξ 2
                                                              2 ∂ξ∂η          2
 ∂z      x            ∂2 z   x    ∂2 z   x ∂2 z
− y sec 2 sin x +y 2 ( 2 tg 2 +2       tg + 2 ) =0
 ∂ξ      2            ∂ξ     2   ∂ξ∂η 2 ∂η
                                                                                         ∂2 z
В процессе простейших арифметических действий члены, содержащие                               и
                                                                                         ∂ξ 2
 ∂2 z
      , взаимно уничтожаются, и уравнение принимает вид
∂ξ∂η
                 1 ∂z        x x              ∂ 2 z ∂z       x
                      y sec 2 tg sin 2 x +y 2       − y sec 2 sin x =0 ,
                 2 ∂ξ        2 2              ∂η  2
                                                     ∂ξ      2
или
                                           ∂ 2 z ∂z
                                       y        = sin x .
                                           ∂η 2 ∂ξ
                     x
                    2tg
Так как sin x =      2 , tg x =ξ , то sin x = 2ξη .
                       x    2 η              ξ 2 +η 2
               1 +tg 2
                       2
      Окончательно получаем
                                           ∂2 z     2ξ ∂z
                                                = 2
                                           ∂η 2
                                                 ξ +η 2 ∂ξ

    Для уравнения эллиптического типа интегралы уравнения характеристик
имеют вид ϕ ( x, y) ±iψ ( x, y) =C1 , где ϕ ( x, y ) и ψ ( x, y) - действительные
функции.
С помощью подстановки ξ =ϕ ( x, y),
                              ψ =ψ ( x, y ) уравнение приводится к каноническому
виду. (1)

Пример 3.

      Привести к каноническому виду уравнение
∂ z
 2
         ∂2 z   ∂2 z
     −2       +2 2 =0
∂x 2    ∂x∂y    ∂y

Решение. Здесь A =1 B =−1 C =2 B 2 −AC =1 −2 =−1 <0 - уравнение
          эллиптического типа.
Уравнение характеристик имеет вид

(dy ) 2 +2dxdy +2(dx) 2 =0 или
y ' 2 +2 y '+2 =0
    Отсюда y' =−1 ±i , получаем два семейства мнимых характеристик:
y +x −ix =C1 и

Страницы