Пособие по уравнениям в частных производных. Теория и методы решения задач. Малютина О.П. - 8 стр.

                                               8
    Разделяя в уравнении sin xdy +ydx =0 переменные и интегрируя, имеем
                              dy     dx
                                  +      =0
                               y sin x
                                         x
                              ln y +ln tg =ln C
                                         2
                                   x
                              ytg =C
                                   2
                                           x
    Произведем замену переменной: ξ = ytg , η = y (произвольная функция)
                                           2
Тогда получим (проведя предварительно операции дифференцирования,
аналогичные приведенным в примере 1).
                              ∂z 1 sec 2 x ∂z ∂z     y sec 2 x ∂z
                                = y           + 0=                ,
                              ∂x 2    2 ∂ξ ∂η           2 2 ∂ξ
                                           ∂ξ 1       x
                                    т.к.      = y cos ,
                                            ∂x 2      2
                                         ∂η
                                             =0;
                                         ∂x

                               ∂z       x ∂ξ ∂z              ∂ξ       x
                                  =tg        + , т. к.           =tg
                               ∂y       2 ∂ξ ∂η              ∂y      2
                                    ∂η
                                        =1
                                    ∂y
    ∂2 z    1       2 x 2 ∂ z
                           2
                                       ∂2 z    2 ∂ z
                                                  2
                                                        ∂z 1        x x
         =(   y sec    )       +2 ⋅ 0       +0        +      y sec 2 tg =
    ∂x 2
            2         2 ∂ξ   2
                                      ∂ξ∂η       ∂η 2
                                                       ∂ξ 2         2 2
          y2       x ∂2 z y      x x ∂z
    =        sec 4        + sec 2 tg
          4        2 ∂ξ 2
                           2     2 2 ∂ξ
    ∂2 z     2 x ∂ z
                  2
                           x ∂2 z   ∂2 z 2    ∂z    ∂z     2 x      x ∂2 z   ∂2 z
         =tg          +2tg  1     +     1  +0    +0    =tg     +2tg        +
    ∂y 2       2 ∂ξ 2      2 ∂ξ∂η ∂η 2        ∂ξ    ∂η       2      2 ∂ξ∂η ∂η 2
     Остановимся более подробно на вычислении смешанной производной
   ∂ z
     2
         ∂ 2 z ∂ξ ∂ξ   ∂ 2 z ∂ξ ∂η ∂z ∂ 2ξ ∂ 2 z ∂η ∂η   ∂ 2 z ∂η ∂ξ ∂z ∂ 2η
       =             +            +       +            +            +        =
   ∂x∂y ∂ξ 2 ∂x ∂y ∂ξ∂η ∂x ∂y ∂ξ ∂x∂y ∂η 2 ∂x ∂y ∂η∂ξ ∂x ∂y ∂η ∂x∂y
         ∂ 2 z ∂ξ ∂ξ    ∂ξ ∂η ∂η ∂ξ ∂ 2 z   ∂ 2 z ∂η ∂η ∂z ∂ 2ξ ∂z ∂ 2η
    =                +(      +     )      +            +       +        =
         ∂ξ 2 ∂x ∂y     ∂x ∂y ∂x ∂y ∂ξ∂η ∂η 2 ∂x ∂y ∂ξ ∂x∂y ∂η ∂x∂y
         ∂2 z 1       2 x    x ∂2 z 1       2 x    x          ∂2 z        ∂z 1      x ∂z
    =           y sec     tg  +     ( y sec     tg   +0 ⋅1) +      0 ⋅1 +      sec 2 + 0 =
         ∂ξ 2
            2
                        2 2 ∂ξ∂η 2            2 2            ∂η  2
                                                                         ∂ξ 2       2 ∂η
     1 ∂2 z x ∂2 z          x 1 ∂z       x
    = ( 2 tg +     ) y sec 2 +     sec 2
     2 ∂ξ   2 ∂ξ∂η          2 2 ∂η       2

     Подставляя в данное дифференциальное уравнение выражение для

вторых производных, имеем