Пособие по уравнениям в частных производных. Теория и методы решения задач. Малютина О.П. - 7 стр.

                                                    7
∂ 2 u ∂ 2 u ∂ξ 2 ∂ 2 u ∂ξ ∂η ∂u ∂ 2ξ ∂ 2 u ∂η 2 ∂ 2 u ∂η ∂ξ ∂u ∂ 2η
     =     ( ) +            +       +     ( ) +            +        =
∂x 2 ∂ξ 2 ∂x     ∂ξ∂η ∂x ∂x ∂ξ ∂x 2 ∂η 2 ∂x     ∂η∂ξ ∂x ∂x ∂η ∂x 2
 ∂ 2 u ∂ξ 2  ∂ 2 u ∂ξ ∂η ∂ 2 u ∂η 2 ∂u ∂ 2ξ ∂u ∂ 2η ∂ 2 u 2    ∂ 2 u y (−y )
= 2 ( ) +2              +     ( ) +        +       =     y +2                +
 ∂ξ ∂x      ∂ξ∂η ∂x ∂x ∂η 2 ∂x      ∂ξ ∂x 2 ∂η ∂x 2 ∂ξ 2      ∂ξ∂η x 2
 ∂ 2u  y      ∂u   ∂u 2 y ∂ 2 u 2    y 2 ∂ 2u   ∂ 2 u y 2 ∂u 2 y
+ 2 (− 2 ) 2 + 0 +       =     y  −2          +          +
 ∂η   x       ∂ξ  ∂η x 3 ∂ξ 2        x 2 ∂ξ∂η ∂η 2 x 4 ∂η x 3
          Аналогично находим
∂ u ∂ 2 u ∂ξ 2
 2
                   ∂ 2 u ∂ξ ∂η ∂ 2 u ∂η 2 ∂u ∂ 2ξ ∂u ∂ 2η
    =    (   ) +2             +     ( ) +        +        =
∂y 2 ∂ξ 2 ∂y      ∂ξ∂η ∂y ∂y ∂η 2 ∂y      ∂ξ ∂y 2 ∂η ∂y 2
∂ 2u 2     ∂ 2 u 1 ∂ 2 u 1 ∂u     ∂u     ∂ 2u 2     ∂ 2u   ∂ 2u 1
     x +2       x +       +   0 +    0 =      x +2       +
∂ξ 2      ∂ξ∂η x ∂η 2 x 2 ∂ξ      ∂η     ∂ξ 2      ∂ξ∂η ∂η 2 x 2
     Подставив в данное дифференциальное уравнение найденные для
вторых производных выражения, получим
       ∂ 2u 2     ∂ 2u y 2 ∂ 2u y 2    ∂u y         2 ∂ u
                                                        2
                                                                    ∂ 2u   1 ∂ 2u
x2 (        y −2          +         +2        ) − y  (      x 2
                                                                +2       +        ) =0
       ∂ξ 2      ∂ξ∂η x 2 ∂η 2 x 4     ∂η x 3          ∂ξ 2        ∂ξ∂η x 2 ∂η 2
                                    ∂ 2u 2    ∂u y
                              −4         y +2      =0
                                   ∂ξ∂η       ∂η x
                                  ∂ 2 u 1 ∂u 1
                                       −       =0
                                 ∂ξ∂η 2 ∂η xy
                                    ∂ 2u   1 ∂u
                                         −      =0
                                   ∂ξ∂η 2ξ ∂η
т.е. уравнение приведено к каноническому виду.

       Для уравнения параболического типа оба семейства характеристик
совпадают, то есть уравнение характеристик дает лишь один интеграл
ϕ ( x, y ) =C . В этом случае нужно произвести замену переменных
ξ =ϕ ( x, y ),     η =ψ ( x, y ), где ψ ( x, y) - какая-либо функция, для которой
∂ξ ∂η ∂ξ ∂η
     −      ≠0 .           После       такой       замены         уравнение    приводится   к
∂x ∂y ∂y ∂x
каноническому виду.

          Пример 2.

          Привести к каноническому виду уравнение:
                                ∂2 z                    ∂2 z     2 ∂ z
                                                                    2
                                     sin 2
                                           x −2 y sin x      + y        =0
                                ∂x 2                    ∂x∂y       ∂y 2
    Решение: Здесь A =sin 2 x , B =−y sin x , C = y 2 .
    Так как B 2 −AC = y 2 sin 2 x −sin 2 xy 2 =0 , то данное уравнение –
параболического типа.
    Уравнение характеристик имеет вид
                    sin 2 x (dy ) 2 +2 y sin xdxdy +y 2 (dx) 2 =0 или
                                         (sin xdy +ydy ) 2 =0.