Пособие по уравнениям в частных производных. Теория и методы решения задач. Малютина О.П. - 6 стр.

                                           6


3. Приведение к каноническому виду уравнении второго порядка в
частных производных с двумя независимыми переменными

    Рассмотрим уравнение (1.1). Дифференциальное уравнение
                       A(dy ) 2 −2 Bdxdy +C (dx 2 ) =0                          (3.1)
называется уравнением характеристик уравнения (1.1).
      Для уравнения гиперболического типа уравнение характеристик имеет
два интеграла:
                         ϕ ( x, y ) =c1 , ψ ( x, y ) =c 2 ,          (3.2)
т.е. существует два семейства действительных характеристик. С помощью
замены переменных
                          ξ =ϕ ( x, y ) и η =ψ ( x, y )              (3.3)
дифференциальное уравнение (1.1) приводится к каноническому виду.
      Рассмотрим более подробно конкретный пример.
Пример 1.
                                                         ∂ 2u     2 ∂ u
                                                                     2
      Привести к каноническому виду уравнение x 2             − y        =0 .
                                                         ∂x 2       ∂y 2
Решение:
     Здесь A =x 2 , B =0, C =−y 2 , B 2 −AC =x 2 y 2 >0 (исключение составляет
случай xy =0 , но тогда исходное уравнение обращается в тождество 0 =0 ),
следовательно, это уравнение гиперболического типа.
    Составляем уравнение характеристик:
                   x 2 (dy ) 2 −y 2 (dx) 2 =0 или ( xdy +ydx)( xdy −ydx) =0 .
    Получаем два дифференциальных уравнения
                                 xdy +ydx =0 и xdy −ydx =0 .
    Разделяя переменные и интегрируя, имеем
                           dy dx
                              + =0 , т.е. ln y +ln x =ln C1
                            y  x
                           dy dx
                              − =0 , т.е. ln y −ln x =ln C 2
                            y  x
После потенцирования находим
                  x
     xy =C1   и     =C 2 - уравнения двух семейств характеристик.
                  y
                                                           y
                       Введем новые переменные ξ =xy, η = .
                                                           x
    Выразим частные производные по старым переменным через частные
производные по новым переменным
                        ∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η ∂u  ∂u y
                          =     +     = y−
                        ∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂x ∂ξ  ∂ξ x 2
                        ∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η ∂u  ∂u 1
                          =     +     = x+
                        ∂y ∂ξ ∂y ∂η ∂y ∂ξ ∂η x