Пособие по уравнениям в частных производных. Теория и методы решения задач. Малютина О.П. - 4 стр.

                                          4


2. Процессы распространения тепла в однородном изотропном теле и явления
  диффузии описываются уравнением теплопроводности.
                     ∂u       ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
                        −a 2 ( 2 + 2 + 2 ) = f (t , x, y, z )         (1.3)
                     ∂t       ∂x   ∂y   ∂z
3. Изучение установившегося теплового состояния в однородном изотопном
  теле приводит к уравнению Пуассона:
                          ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
                              +    +     = f ( x, y , z )             (1.4)
                          ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
  При отсутствии источников тепла внутри тела уравнение (1.4) переходит в
 уравнение Лапласа
                             ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
                                 +    +     =0                        (1.5)
                             ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
     Уравнения      (1.2)-(1.5)    называют   основными      уравнениями
 математической физики.Их решение дает возможность исследовать ряд
 физических и технических задач.
     Уравнения (1.2)-(1.5) имеют, вообще говоря, не единственное решение.
 При решении конкретной физической задачи из всех этих решений
 необходимо выбрать то, которое удовлетворяет некоторым дополнительным
 условиям, вытекающим из физического смысла задачи. Такими
 дополнительными условиями являются начальные условия, относящиеся к
 моменту времени, с которого начинается изучение явления, и граничные
 условия, т.е. условия, заданные на границе рассматриваемой среды, где
 протекает данный физический процесс.
     Задача математической физики корректно поставлена, если решение:
        1) существует;
        2) единственно;
        3) устойчиво, т.е. малые изменения данных задачи вызывают малые
 изменения решения, эти требования на постановку задачи с практической
 точки зрения объясняется тем, что
     1) уравнение лишь приближенно отражает рассматриваемый физический
 процесс;
     2) начальные и граничные условия не могут быть определены с
 абсолютной точностью.