Пособие по уравнениям в частных производных. Теория и методы решения задач. Малютина О.П. - 3 стр.

                                                                     3


                         1. Основные уравнения математической физики

      Уравнение, связывающее неизвестную функцию u ( x1 , x2 ,..., x n ) ,
 независимые переменные x1 , x2 ,..., x n и частные производные от неизвестной
 функции, называется дифференциальным уравнением с частными
 производными.

 Общий вид этого уравнения:
                                                               ∂u        ∂u             ∂ku
                                  F ( x1, x 2 ,..., x n , u,       ,...,      ,..., k1 k 2            ) =0,
                                                               ∂x1       ∂x n      ∂x1 ∂x 2 ...∂x nkn
     где F – заданная функция.
    Наивысший порядок частной производной, входящей в уравнение,
 называется порядком этого уравнения.
    Общее уравнение с частными производными первого порядка с двумя
 независимыми переменными x и y может быть записано в виде
                                                                         ∂u ∂u
                                                        F ( x, y , u ,     , ) =0
                                                                         ∂x ∂y
     Общее уравнение с частными производными второго порядка имеет вид
                                                             ∂u ∂u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u
                                            F ( x, y , u ,     , ,      ,     ,      ) =0
                                                             ∂x ∂y ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2
   Уравнение с частными производными называется квазилинейными, если
 оно линейно зависит от старших производных неизвестной функций.
   Например,
                                      ∂ 2u              ∂ 2u              ∂ 2u
                          A( x, y )        +B ( x , y )      +C ( x , y )      + f ( x, y, u , u x , u y ) =0
                                      ∂x 2              ∂x∂y              ∂y 2
    есть квазилинейное уравнение второго порядка.
    Уравнение с частными производными называется линейным, если оно
 линейно относительно неизвестной функции и всех ее частных производных.
    Общий вид линейного уравнения второго порядка с двумя независимыми
 переменными следующий:
             ∂ 2u                ∂ 2u              ∂ 2u            ∂u            ∂u
 A( x, y )        +2 B ( x , y )      +C ( x , y )      +D( x, y )    +E ( x, y ) +G ( x, y )u =F ( x, y )      (1.1)
             ∂x 2
                                 ∂x∂y              ∂y 2
                                                                   ∂x            ∂y
    Решением уравнения с частными производными называется функция
 u =u( x1 , x 2 ,...x n ) , которая, будучи подставлена в уравнение вместо неизвестной
 функции и ее частных производных, обращает это уравнение в тождество.
    К дифференциальным уравнениям с частными производными второго
 порядка приводят многие задачи физики и механики.

1. К волновому уравнению приводит изучение колебательных явлений.
                                        ∂ 2u    2 ∂ u
                                                    2
                                                        ∂ 2u ∂ 2u
                                             −a  (     +    +     ) = f (t , x, y, z ) ,                        (1.2)
                                        ∂t 2       ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
     где а – скорость распространения волны в данной среде.