Пособие по уравнениям в частных производных. Теория и методы решения задач. Малютина О.П. - 5 стр.

                                         5


  2. Канонический вид линейного уравнения второго порядка с двумя
                    независимыми переменными

     Рассмотрим уравнение (1.1). Будем предполагать, что коэффициенты
A(x,y), B(x,y), C(x,y) не обращаются одновременно в нуль. Если вместо (x,y)
ввести новые независимые переменные
                                      ξ =ξ ( x, y )
                                      η =η ( x, y ),
где ξ,η - дважды непрерывно дифференцируемые функции, причем Якобиан
не обращается в нуль:
                                            ∂ξ ∂ξ
                                 D(ξ ,η ) ∂x ∂y
                                          =       ≠0,
                                 D( x, y ) ∂η ∂η
                                            ∂x ∂y

то уравнение можно упростить и привести его к одному из трех типов
                            ∂2u              ∂u ∂u
                                =F1 (ξ ,η, u, , )                        (2.1)
                           ∂ξ∂η              ∂ξ ∂η
(или, положив ξ =α +β , η =α −β , получим
                       ∂ 2u ∂ 2u                 ∂u ∂u
                            − 2 =Φ1 (α , β , u ,   , )                  (2.1`)
                       ∂α 2
                             ∂β                  ∂α ∂β
                          ∂ 2u                ∂u ∂u
                               =Φ 2 (ξ ,η, u , , )                       (2.2)
                          ∂η 2
                                              ∂ξ ∂η
или
                          ∂ 2u                ∂u ∂u
                               =Φ 2 (ξ ,η, u , , )                      (2.2`)
                          ∂ξ 2
                                              ∂ξ ∂η
                       ∂ 2u ∂ 2u               ∂u ∂u
                            + 2 =Φ 3 (ξ ,η, u , , ).                     (2.3)
                       ∂ξ 2
                             ∂η                ∂ξ ∂η
     Если уравнение (1.5) приводится к виду (2.1) или (2.1’), то это уравнение
гиперболического типа, а уравнения (2.1), (2.1’) называются каноническими
уравнениями гиперболического типа. Если после замены получим (2.2) или
(2.2’), то уравнение (1.5) – параболического типа. Если после замены
получим (2.3), то уравнение (1.5) – эллиптического типа.
     Тип уравнения может быть также определен без приведения к
каноническому виду, а непосредственно по коэффициентам уравнения (1) по
знаку выражения B 2 −AC .
     Если в точке ( x0 , y0 ) B 2 −AC >0, то уравнение (1.5) гиперболического
типа в этой точке, при B 2 −AC =0 - параболического, а при B 2 −AC <0 -
эллиптического типа.