Пособие по уравнениям в частных производных. Теория и методы решения задач. Малютина О.П. - 9 стр.

                                                9


Разделяя в уравнении sin xdy +ydx =0 переменные и интегрируя, имеем
                                dy     dx
                                    +      =0
                                 y sin x
                                           x
                                ln y +ln tg =ln C
                                           2
                                     x
                                ytg =C
                                     2
                                             x
      Произведем замену переменной: ξ = ytg , η = y (произвольная функция)
                                             2
Тогда получим, проведя операции дифференцирования, аналогичные
приведенным в примере 1.
      ∂z 1 sec 2 x ∂z ∂z  y sec 2 x ∂z
         = y         + 0=              ,
      ∂x 2     2 ∂ξ ∂η       2 2 ∂ξ
           ∂ξ 1       x
      т.к.    = y cos ,
           ∂x 2       2
           ∂η
              =0;
           ∂x

       ∂z     x ∂ξ ∂z                  ∂ξ       x
          =tg     + , т. к.                =tg
       ∂y     2 ∂ξ ∂η                  ∂y       2
                                        ∂η
                                           =1
                                        ∂y
∂2 z    1       2 x 2 ∂ z
                       2
                                   ∂2 z      2 ∂ z
                                                2
                                                      ∂z 1        x x
     =(   y sec    )       +2 ⋅ 0        + 0        +      y sec 2 tg =
∂x 2
        2         2 ∂ξ   2
                                  ∂ξ∂η         ∂η 2
                                                     ∂ξ 2         2 2
    y2       x ∂2 z y      x x ∂z
=      sec 4        + sec 2 tg
    4        2 ∂ξ 2
                     2     2 2 ∂ξ
∂2 z     2 x ∂ z
              2
                       x ∂2 z   ∂2 z 2    ∂z    ∂z     2 x      x ∂2 z   ∂2 z
     =tg          +2tg  1     +     1  +0    +0    =tg     +2tg        +
∂y 2       2 ∂ξ 2      2 ∂ξ∂η ∂η 2        ∂ξ    ∂η       2      2 ∂ξ∂η ∂η 2
Остановимся более подробно на вычислении смешанной производной
∂2 z  ∂ 2 z ∂ξ ∂ξ   ∂ 2 z ∂ξ ∂η ∂z ∂ 2ξ ∂ 2 z ∂η ∂η   ∂ 2 z ∂η ∂ξ ∂z ∂ 2η
     = 2          +            +       + 2          +            +        =
∂x∂y ∂ξ ∂x ∂y ∂ξ∂η ∂x ∂y ∂ξ ∂x∂y ∂η ∂x ∂y ∂η∂ξ ∂x ∂y ∂η ∂x∂y
    ∂ 2 z ∂ξ ∂ξ    ∂ξ ∂η ∂η ∂ξ ∂ 2 z   ∂ 2 z ∂η ∂η ∂z ∂ 2ξ ∂z ∂ 2η
=               +(      +     )      +            +       +        =
    ∂ξ 2 ∂x ∂y     ∂x ∂y ∂x ∂y ∂ξ∂η ∂η 2 ∂x ∂y ∂ξ ∂x∂y ∂η ∂x∂y
    ∂2 z 1       2 x    x ∂2 z 1       2 x    x          ∂2 z        ∂z 1      x ∂z
=          y sec     tg  +     ( y sec     tg   +0 ⋅1) +      0 ⋅1 +      sec 2 + 0 =
    ∂ξ 2
       2
                   2 2 ∂ξ∂η 2            2 2            ∂η  2
                                                                    ∂ξ 2       2 ∂η
 1 ∂2 z x ∂2 z          x 1 ∂z       x
= ( 2 tg +     ) y sec 2 +     sec 2
 2 ∂ξ   2 ∂ξ∂η          2 2 ∂η       2

Подставляя в данное дифференциальное уравнение выражение для вторых
производных, имеем