Пособие по уравнениям в частных производных. Теория и методы решения задач. Малютина О.П. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

11
2
Cixxy
=
+
+
.
Произведя замену переменных
,xy
+
=
ξ
,
x
=
η
имеем
;1
;1
=
∂
∂
=
∂
∂
x
x
η
ξ
;0
;1
=
∂
∂
=
∂
∂
y
y
η
ξ
;0
;0
2
2
2
2
=
∂
∂
=
∂
∂
x
x
η
ξ
;0
;0
2
2
2
=
∂
∂
=
∂
∂
y
y
η
ξ
;0
;0
2
2
=
∂∂
∂
=
∂∂
∂
yx
yx
η
ξ
2
22
2
2
2
2
2
2
22
2
22
2
222
2
222
2
2
2
2
;
;2)()(
;01
;11
ξ
η
ηξ
ξ
ξ
ηξ
ξ
η
ηξ
ξ
ξ
η
ηξξ
η
η
ξ
ξη
η
ηξ
ξ
ξ
ξηξ
ηξηξ
∂
∂
=
∂
∂
∂∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
∂∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂∂
∂
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂∂
∂
+
∂
∂
∂∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
z
y
z
y
z
y
z
zz
x
z
x
z
yx
z
zzz
x
z
x
z
x
z
x
z
x
z
zzz
y
z
zzzz
x
z
Подставив найденные выражения в исходное дифференциальное уравнение ,
получаем
02222
2
22
2
2
2
22
2
2
=
∂
∂
+
∂∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
ξ
ηξ
ξη
ηξ
ξ
zzzzzz
или
.0
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
ηξ
zz
Рекомендуемые упражнения:
Привести к каноническому виду уравнения:
1. 02
2
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
y
z
y
zx
z
xy
x
z
x
2. 06234
2
22
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∂∂
∂
−
∂
∂
y
z
x
z
y
z
yx
z
x
z
3. 0
11
2
2
22
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
z
yx
z
x
4. 02
2
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
y
u
y
yx
u
xy
x
u
x
5. 02
2
22
2
2
=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
y
u
yx
u
x
u
6. 0
11
2
2
22
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
u
yx
u
x
                                                   11
y +x +ix =C 2 .
Произведя замену переменных ξ = y +x, η =x, имеем
                             ∂ξ     ∂ξ     ∂ 2
                                               ξ     ∂ 2ξ     ∂ 2ξ
                                =1;    =1;       =0;      =0;      =0;
                             ∂x     ∂y     ∂x 2      ∂y 2
                                                              ∂x∂y
                             ∂η     ∂η     ∂ 2η      ∂ 2η     ∂ 2η
                                =1;    =0;       =0;      =0;      =0;
                             ∂x     ∂y     ∂x 2       ∂y      ∂x∂y

                             ∂z ∂z ∂z  ∂z ∂z
                               = 1+ 1 = + ;
                             ∂x ∂ξ ∂η  ∂ξ ∂η
                             ∂z ∂z ∂z   ∂z
                               = 1+ 0 = ;
                             ∂y ∂ξ ∂η  ∂ξ
         ∂2 z    ∂ 2 z ∂ξ   ∂ 2 z ∂η       ∂ 2 z ∂ξ ∂ 2 z ∂η     ∂2 z     ∂2 z   ∂2 z
              =(          +          ) +(          +         ) =      +2       +      ;
         ∂x 2    ∂ξ 2 ∂x ∂ξ∂η ∂x          ∂η∂ξ ∂x ∂η 2 ∂x        ∂ξ      ∂ξ∂η ∂η 2
                             ∂2 z  ∂ 2 z ∂ξ   ∂ 2 z ∂η ∂ 2 z  ∂2 z
                                  = 2       +         = 2 +        ;
                             ∂x∂y ∂ξ ∂x ∂ξ∂η ∂x ∂ξ           ∂ξ∂η
                             ∂ 2 z ∂ 2 z ∂ξ   ∂ 2 z ∂η ∂ 2 z
                                  =         +         =
                             ∂y 2 ∂ξ 2 ∂y ∂ξ∂η ∂y ∂ξ 2

Подставив найденные выражения в исходное дифференциальное уравнение,
получаем
                             ∂2 z     ∂2 z   ∂2 z    ∂2 z     ∂2 z    ∂2 z
                                  +2       +      −2      −2       +2      =0
                             ∂ξ 2    ∂ξ∂η ∂η 2       ∂ξ 2    ∂ξ∂η     ∂ξ 2
         или
                                               ∂2 z ∂2 z
                                                   +     =0.
                                               ∂ξ 2 ∂η 2

                                 Рекомендуемые упражнения:

Привести к каноническому виду уравнения:
         ∂2 z       ∂2 z     2 ∂ z
                                2
1. x 2        +2 xy      + y        =0
         ∂x 2       ∂x∂z       ∂y 2
     ∂2 z    ∂2 z    ∂2 z   ∂z ∂z
2.        −4      −3      −2 +6 =0
     ∂x 2
             ∂x∂y    ∂y 2
                            ∂x ∂y
     1 ∂2 z 1 ∂2 z
3.           +         =0
     x 2 ∂x 2 y 2 ∂y 2
         ∂ 2u       ∂ 2u     2 ∂ u
                                2
4. x 2        +2 xy      + y        =0
         ∂x 2       ∂x∂y       ∂y 2
     ∂ 2u    ∂ 2u ∂ 2u
5.        +2     +     =0
     ∂x 2    ∂x∂y ∂y 2
   1 ∂ 2u 1 ∂ 2u
6. 2 2 + 2 2 =0
   x ∂x   y ∂y

Страницы