Пособие по уравнениям в частных производных. Теория и методы решения задач. Малютина О.П. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

20
yx
exy
dxdy
−=
=−
=
+
−
3
3
0)21(
ξ
yx
exy
dxdy
+=
=+
=
−
−
η
0)21(
Опустим подробное изложение приведения исходного уравнения к
каноническому виду.
()
η
η
ηξ
ηξ
e
u
u
u
=
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂∂
∂
0
0
2
)()3(),(
)()(),(
)()(),(
yxyxyxu
u
deu
++−=
+=
+=
∫
ψϕ
ηψξϕηξ
ξϕηηηξ
y=3x+e
y=-x+e
+−=
∂
∂
+=
=
=
)(')3('
)()3(
0
0
xx
y
u
xxu
y
y
ψϕ
ψϕ
=+−
=+
0)(')3('
3)()3(
2
xx
xxx
ψϕ
ψϕ
22
22
2
2
2
2
2
2
2
3),(
4
3
4
)(3
4
3
4
)3(
),(
4
3
4
)(
4
3
4
3
)(
4
3
4
9
3)(
4
3
4
9
)3(
3)3(
3
4
)()3(
3
1
3)()3(
yxyxu
eyxeyx
yxu
et
t
e
xx
ex
xx
ex
x
exx
exx
xxx
+=
+
+
+−
−
=
−=
+=
+−=
−=
−=
=+−
=+
ϕ
ψ
ψ
ϕ
ϕ
ψϕ
ψϕ
непосредственной проверкой (дифференцированием) можно показать
правильность вычисления искомой функции. 
                                                      20
                       dy −(1 +2)dx =0                     dy −(1 −2)dx =0
                       y −3 x =e                           y +x =e
                       ξ =3 x −y                           η =x +y
     Опустим подробное изложение приведения исходного уравнения к
каноническому виду.
                                              ∂ 2u
                                                   =0
                                             ∂ξ∂η
                                              ∂ � ∂u �
                                                  �      � =0
                                             ∂ξ �� ∂η ��
                                             ∂u
                                                    =e(η )
                                             ∂η


                                  u (ξ , η ) =∫e(η )dη +ϕ (ξ )
                                  u (ξ , η ) =ϕ (ξ ) +ψ (η )
                                  u ( x, y ) =ϕ (3 x −y ) +ψ ( x +y )
                                                      y=3x+e
                                                      y=-x+e
              � u y =0 =ϕ (3 x ) +ψ ( x )
              ��                                            � ϕ (3 x ) +ψ ( x ) =3 x 2
              � ∂u                                           �
               � ∂y          =−ϕ ' (3 x ) +ψ ' ( x)            � −ϕ ' (3 x) +ψ ' ( x) =0
                ��    y =0

                         � ϕ (3 x) +ψ ( x) =3 x 2
                          �
                            � 1
                             � − ϕ (3 x) +ψ ( x ) =e
                              � 3
                               4
                                 ϕ (3 x) =3 x 2 −e
                               3
                                          9 x 2 3e
                         ϕ (3 x) =               −
                                           4        4
                                                 9 x 2 3e
                         ψ ( x) =3 x 2 −                +
                                                   4      4
                                        3         3e
                         ψ ( x) = x 2 +
                                        4          4
                                       t 2 3e
                         ϕ (t ) = −
                                        4 4
                                           (3 x −y ) 2 3e 3( x +y ) 2 3e
                         u ( x, y ) =                    − +         +
                                                 4          4  4       4
                         u ( x, y ) =3 x + y   2      2


непосредственной проверкой (дифференцированием) можно показать
правильность вычисления искомой функции.

Страницы