Математические методы в технических расчётах. Малыгин Е.Н. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

координаты и характер изменения выходной координаты во времени. Статические характеристики объекта соответствуют
парам: вход-выход при установившемся значении выходной координаты.
Результаты эксперимента представляются в виде таблиц или непрерывных зависимостей выходной координаты
объекта. Аппроксимация экспериментальных значений осуществляется любой, наиболее пригодной для дальнейшего
применения математической формой.
В качестве примера можно привести полиномиальную зависимость изменения выходной координаты объекта во
времени:
nitaty
n
i
i
i
,0,)(
0
==
∑
=
. (2)
Коэффициенты
i
a
находятся из условия: при
δ≤−≡ )()(),()(
рээр
tytytxtx
,
где
)(),(
эр
txtx – расчётное и экспериментальное значения входной координаты объекта; )(),(
рэ
tyty – экспериментальное
и полученное по аппроксимирующей форме значения выходной координаты объекта;
δ
– точность. Координаты
i
a
не
имеют физического смысла и аппроксимирующее выражение (2) формально описывает реакцию объекта на испытательный
сигнал.
Метод прост, имеет высокую точность описания объекта, однако область применения таких моделей ограничена.
Очевидно, что полученная математическая модель объекта не может быть использована для целей проектирования.
Аналитический метод построения математической модели объекта предусматривает описание процессов, протекающих
в объекте, в форме кинетических зависимостей, вытекающих из фундаментальных законов, описывающих эти процессы.
Коэффициенты уравнений математической модели, полученной аналитическим методом, имеют чёткий физический смысл и
находятся из справочной литературы.
Применение аналитического метода затруднительно, если процессы в объекте плохо изучены. Неучёт таких процессов в
математической модели приводит к низкой точности получаемых результатов, а иногда модель объекта исследования и
вообще нельзя получить.
Однако, если аналитический метод построения математических моделей применим, т.е. знания о процессах,
протекающих в объекте достаточны для его применения, то получаемая математическая модель объекта наиболее пригодна
для определения конструктивных и режимных характеристик объекта, т.е. для целей проектирования.
Компромиссом между аналитическим и экспериментальным методом является экспериментально-аналитический метод
(ЭАМ), суть которого заключается в следующем. В соответствии с постановкой задачи все хорошо изученные процессы,
протекающие в объекте, представлены в виде формализованных математических зависимостей. Этот этап применения ЭАМ
аналогичен аналитическому методу.
На втором этапе применения ЭАМ осуществляется уточнение параметров уравнений модели, полученных на первом
этапе, по результатам эксперимента на реальном объекте. Определение (уточнение) коэффициентов уравнений модели
осуществляется из условия: при
niaxyxyxx
i
,1,),()(,
ррэээр
=δ≤−≡
, (3)
где
эр
, xx – расчётное и экспериментальное значения входной координаты объекта; ),(),(
ррээ
i
axyxy – значения выходной
координаты объекта, полученные в результате эксперимента и рассчитанное по математической модели объекта; n – число
коэффициентов уравнений математической модели;
δ
– заданная точность.
В качестве начальных приближений при определении
i
a
служат истинные значения коэффициентов, полученных
аналогично аналитическому методу из справочной литературы. Значения
i
a
, найденные из условия (3) могут существенно
отличаться от известных в литературе значений. Подобное расхождение как раз и компенсирует то отсутствие знаний о
процессах, протекающих в объекте исследования, которые были неизвестны исследователю при осуществлении первого
этапа применения ЭАМ.
Таким образом, математическая модель объекта исследования, полученная с использованием ЭАМ, включает в себя
описание всех процессов, известных исследователю и необходимых по постановке задачи. Степень «незнания» части
процессов уточняется определением коэффициентов уравнений математической модели. ЭАМ обладает достаточно высокой
точностью воспроизведения процессов в объекте исследования, но область определения математических моделей,
полученных этим методом, ограничивается теми однотипными объектами, на которых был проведён эксперимент.
Очевидно, что и для целей проектирования модели, полученные ЭАМ, имеют ограниченное применение.
Подводя итог описания методов построения математических моделей объекта исследования, следует сказать, что
экспериментальный метод, обладая высокой точностью описания поведения объекта, имеет узкую область применения,
ограниченную решением задач определения параметров систем управления. Экспериментально-аналитический метод
позволяет учитывать ту часть свойств объекта, которая хорошо изучена, имеет достаточно высокую точность их описания,
однако пригоден только для узкого класса однотипных объектов, на которых проводится эксперимент по определению
коэффициентов уравнений модели.

Страницы