Математические методы в технических расчётах. Малыгин Е.Н. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Аналитический метод требует для своего применения знаний о всех процессах, протекающих в объекте в соответствии
с постановкой задачи. Незнание каких-либо процессов или отдельных параметров уравнений, описывающих эти процессы,
ведёт к потере точности. Однако именно этот метод построения математических моделей наилучшим образом подходит для
целей проектирования или исследований влияния конструктивных и режимных характеристик объекта на поведение
технической системы.
3.3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МОДЕЛИ.
АДЕКВАТНОСТЬ МОДЕЛИ
Математическая модель будет окончательно разработана только после того, как будет выбран метод решения
уравнений модели и доказана её адекватность объекту исследования.
В зависимости от того, что из себя представляет объект исследования и какова постановка задачи уравнения
математической модели могут быть системой алгебраических, дифференциальных с обыкновенными или частными
производными интегральных уравнений, системой логических условий в форме булевой алгебры и т.п., быть линейными или
нелинейными, иметь высокую размерность, быть представленными в форме задачи Коши или краевой задачи. Словом, набор
математическим форм чрезвычайно разнообразен. И несмотря на это, есть один показатель, общий почти для всех форм
моделирования технических объектов – аналитическое решение систем уравнений математической модели возможно только
в простейших случаях.
Аналитическое решение может быть получено для систем линейных алгебраических уравнений невысокой
размерности, дифференциальных уравнений с обыкновенными производными, опять же линейных, чаще – однородных с
постоянными коэффициентами [2].
В остальных случаях используются численные методы с применением средств вычислительной техники. Так для
решения достаточно сложных систем алгебраических уравнений используется метод Гаусса [2], для систем
дифференциальных уравнений с обыкновенными производными – численные методы Эйлера, Рунге-Кутта, Адамса [2, 3].
Для решения уравнений с частными производными – различные модификации явных и неявных сеточных методов,
например, метод Кранка-Никольсона [3] и т.д.
Как правило, исследователям крайне редко приходится разрабатывать собственные программные продукты для
решения уравнений математических моделей. Существуют стандартные программные продукты ведущих мировых фирм,
предлагающие хорошо отработанные программно-математические комплексы для решения различных видов систем
нелинейных уравнений высокой размерности. Так что неразрешимые проблемы в этом плане у исследователя могут
возникнуть крайне редко. С учётом последнего можно считать, что исследователь всегда может подобрать стандартный
метод решения уравнений математической модели объекта исследования.
И вот здесь стоит задать вопрос: «А можно ли называть математической моделью ту систему уравнений, которую
создал исследователь для конкретной постановки задачи, выбрал метод решения уравнений модели и довёл его до
практической реализации?»
Строго говоря, несмотря на то, что модель «заработала», её можно называть только гипотетической математической
моделью объекта исследования. Освободиться от названия «гипотетической» можно только после того, как будет доказано,
что математическая модель в области её определения адекватна объекту моделирования. Другими словами, математическая
модель пригодна для решения поставленной задачи. И ещё более точная формулировка: для любых сочетаний режимных и
конструктивных характеристик проектируемого (исследуемого) объекта математическая модель должна воспроизводить
поведение реального объекта с заданной точностью для конкретной постановки задачи. А «любые сочетания»
конструктивных и режимных характеристик объекта определяются интервальными оценками, которые задаются
исследователем для каждого искомого параметра.
Остановимся подробнее на том, что нужно сделать, чтобы доказать адекватность математической модели в области её
определения по постановке задачи реальному объекту.
Для математических моделей, построенных экспериментальным или экспериментально-аналитическим методами,
проверка адекватности осуществляется следующим образом: при
ni
n
yy
xx
n
i
ii
ii
,1,,
1
рэ
эр
=δ≤
−
≡
∑
=
, (4)
где
э
р
,
i
i
xx – расчётное и экспериментальное значения входной координаты объекта в i-м эксперименте;
э
ii
yy ,
р
, – расчётное
по модели и экспериментальное значение выходной координаты объекта в в i-м эксперименте; n – число экспериментов.
Используемые для проверки адекватности математической модели экспериментальные данные не должны совпадать с
экспериментальными данными, применяемыми ранее для определения коэффициентов уравнений математической модели.
Таким образом, проверка адекватности математических моделей, построенных по экспериментальному и
экспериментально-аналитическому методам, осуществляется на основании сравнения результатов независимых
экспериментов с аналогичными результатами, полученными по математической модели.
Иначе обстоит вопрос о проверке адекватности при использовании для разработки модели аналитического метода.
Отсутствие реального объекта не позволяет провести экспериментальную проверку. Адекватность модели оценивается по
косвенным показателям – достоверности фундаментальных законов, описывающих протекание отдельных процессов в
объекте исследования, использовании проведённых ранее зависимостей, значений констант и т.п.
Проверка адекватности и установление факта соответствия области определения математической модели постановке
задачи исследования (проектирования) являются завершающим этапом постановки задачи. Теперь, когда в соответствии с
постановкой задачи установлены параметры объекта (конструктивные и режимные характеристики), подлежащие

Страницы