Математические методы в технических расчётах. Малыгин Е.Н. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

4.1. КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАДАЧ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РЕЖИМНЫХ
И КОНСТРУКТИВНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
ТЕХНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Анализ задач определения режимных и конструктивных характеристик технических систем позволяет осуществить
следующую классификацию объектов:
•
объекты с сосредоточенными параметрами;
•
объекты с распределёнными параметрами;
•
стационарные объекты;
•
нестационарные объекты.
Применительно к химико-технологическому оборудованию объекта с сосредоточенными параметрами характеризуются
постоянством режимных характеристик по рабочим зонам аппарата – объёму или поверхности.
Таким образом, распределения концентраций, температуры, давления и т.п. по координатам рабочей зоны аппарата
отсутствуют. Так, например, в ёмкостном аппарате, в котором осуществляется режим идеального перемешивания, каждая
точка рабочего объёма имеет одинаковые режимные характеристики. Другими словами – градиент режимных характеристик
такого аппарата в любой точке рабочего объёма равен нулю. Отсюда следует вывод, что решение некоей математической
формы, описывающей значения режимных характеристик в объёме аппарата, есть число. Следовательно, такая форма
представлена алгебраическим уравнением.
Если рабочая зона аппарата представляет собой цилиндр, где L/d 100≥ , L – длина, d – диаметр цилиндра (длинная,
тонкая трубка – трубчатый реактор, кожухотрубчатый теплообменник), то имеет место режим идеального вытеснения. В
этом случае градиент режимных характеристик таких аппаратов по радиусу трубки будет равен нулю (постоянство
режимных характеристик по поперечному сечению трубки), а вот по длине трубки градиент режимных характеристик будет
отличен от нуля, т.е. будет иметь место распределение режимных характеристик по длине рабочей зоны аппарата. В этом
случае решение уравнения, описывающего такие распределения, будет иметь вид функций, что является решением
дифференциальных уравнений с обыкновенными производными режимных характеристик по длине рабочей зоны аппарата.
Если L/d 100< , то режим идеального вытеснения нарушается – возникает градиент режимных характеристик по
радиусу трубки, т.е. имеет место распределение режимных характеристик аппарата по длине и радиусу рабочей зоны (не
забываем, что длина и радиус рабочей зоны – конструктивные характеристики аппарата!), т.е. каждая режимная
характеристика в рабочей зоне представлена в виде функции двух переменных – длины и размера рабочей зоны и является
решением дифференциального уравнения с частными производными.
Рассмотренные примеры являются стационарными, т.е. наблюдается постоянство режимных характеристик объекта во
времени. Если объект нестационарен, то описание нестационарного режима работы объекта с сосредоточенными
параметрами описывается дифференциальным уравнением с обыкновенными производными, а объекта с распределёнными
параметрами – уравнениями с частными производными, решением которых будут функции двух или трёх переменных.
Например, T(l, t) или T(l, z, t), где T – температура; L – длина;
Ll <≤0
; t – время.
Таким образом для конкретной постановки задачи исследования (проектирования, конструирования) и принятых при
построении математической модели объекта допущениях мы имеем задачу поиска режимных и конструктивных
характеристик технической системы (объекта исследования, проектирования, конструирования), доставляющих экстремум
(максимум или минимум) критерию оптимальности в виде функции или функционала многих переменных с ограничениями
в форме систем алгебраических, дифференциальных с обыкновенными или частными производными уравнений и систем
неравенств – интервальных оценках, которые ограничивают изменение искомых режимных и конструктивных
характеристик.
Если конструктивные и режимные характеристики технической системы имеют вид параметров (чисел), то такая задача
относится к классу задач математического программирования (не путать с понятием – составление программ для ЭВМ).
Искомые величины могут быть представлены внутри интервальных ограничений в виде непрерывных или дискретных
значений. В первом случае – это отрезок вещественной оси, во втором – значения искомого параметра меняются
скачкообразно, например, характеристики типового, серийно выпускаемого оборудования. Как правило, непрерывный
характер изменения внутри заданного по постановке задачи интервала имеют режимные характеристики, в то время как
конструктивные характеристики могут изменяться как непрерывно, так и принимать дискретные значения.
В зависимости от характера изменения искомых параметров задачи носят название задач непрерывного, дискретного
(целочисленного) или смешанного (непрерывно-целочисленного) программирования. А вот уравнения математической
модели могут быть линейными или нелинейными. Тогда и классификация решаемых задач усложняется: линейное или
нелинейное математическое программирование, которое в свою очередь делится на непрерывное, дискретное или
смешанное программирование (рис. 6).

Страницы