Математические методы в технических расчётах. Малыгин Е.Н. - 19 стр.

UptoLike

Составители:

Рубрика:

Рис. 6. Методы решения задач поиска режимных и конструктивных характеристик технической системы

В зависимости от того, к какому классу относится поставленная исследователем (проектировщиком) задача выбирается

один из методов её решения (рис. 6). Так для решения задач нелинейного, непрерывного программирования часто

используется одна из разновидностей градиентного метода – метод градиента, метод наискорейшего спуска, метод Ньютона

или один из безградиентных методов – метод покоординатного спуска (метод Гаусса-Зейделя), метод перебора, метод

случайного поиска [1].

Алгоритмически все эти методы очень похожи друг на друга, основное различие заключается в способе нахождения

направления движения. Суть методов сводится к следующему: выбирается начальная точка в пространстве искомых

параметров (режимных и конструктивных характеристик технической системы) и с использованием математической модели

объекта вычисляется значение критерия оптимальности. Далее с использованием понятия градиента критерия

оптимальности или каким-либо другим способом (движение по координатным осям, использование метода случайных

направлений и т.п.), определяется направление наискорейшего возрастания или убывания критерия оптимальности (в

зависимости от постановки задачи) и в этом направлении делается рабочий шаг. Определяется новая точка в пространстве

варьируемых параметров, вычисляется новое значение критерия оптимальности и процедура повторятся до тех пор, пока на

двух соседних итерациях поиска значения критерия оптимальности, значения искомых параметров не будут отличаться на

небольшую, заранее заданную положительную величину, называемую точностью расчёта.

Для решения нелинейных задач целочисленного программирования используется метод Гомори [4], а для задач

линейного программирования применяется симплекс-метод [5].

Для решения вариационных задач (напомним, что вариационная задача возникает в случае, когда хотя бы один из

аргументов критерия оптимальности представлен в виде функции) используется классический вариационный метод Эйлера

[6] или один из специальных методов – динамическое программирование, принцип максимума Понтрягина, метод

«блуждающей трубки» Моисеева, прямой вариационный метод [6, 7].

Следует заметить, что применение методов математического программирования, за исключением метода перебора,

обеспечивает получение только локального экстремума критерия оптимальности. Рассмотрим простейший пример, когда

число аргументов критерия оптимальности равно единице (рис. 7).