Математические методы в технических расчётах. Малыгин Е.Н. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Если в качестве начальных приближений исследователь задаёт значения
0
1
a и
0
2
a , то применение, например
градиентного метода, обеспечивает нахождение локального максимума критерия и соответственно значения
*
лок
a .
Исследователь может принять подобную ситуацию за окончательное решение и допустить ошибку. И только задание
начального приближения
0
з
a из области «притяжения» глобального экстремума
],[
0
грmin
aa
обеспечит получение истинного
решения, т.е. значения
*
гл
a . Начальные приближения
0
1
a и
0
2
a находятся в области «притяжения» локального экстремума и
поэтому поиск из точек
0
1
a и
0
2
a приводит к )(
*
л
af , в то время как истинным решением будет )(
*
гл
af .
Рис. 7. Иллюстрации к поиску максимума функции f(a)
Подобные рассуждения легко проводить, когда известен вид f(a) – рис. 7, а, а это как раз исследователю неизвестно.
Реальная картина поиска
)(
*
гл
af приведена на рис. 7, б. Исследователю неизвестны ни вид f(a), ни граница областей
«притяжения» экстремумов
)(
*
л
af и )(
*
гл
af , ни число экстремумов. Следует также отметить, что интервальные оценки
min
a
и
max
a
исследователь также назначил сам. И какая неопределённость в поиске экстремума функции только одного
переменного! А реально, исследователь должен определять несколько десятков режимных и конструктивных характеристик
объекта.
Многие затруднения можно снять, если использовать для решения задач поиска экстремума функции нескольких
переменных с ограничениями метод перебора. Этот метод гарантирует получение глобального экстремума, если число
искомых параметров сравнительно невелико, время вычислительных операций на быстродействующей ЭВМ допустимо для
конкретной задачи.
Из приведенного выше анализа следует исключительно важный вывод – при решении задач исследования и
проектирования реальных объектов (технических систем) в любой прикладной области залогом успеха является сочетание
использования современных математических методов (математическое моделирование, теория оптимального управления и
т.п.), средств вычислительной техники, с одной стороны, и искусства их применения и интуиции исследователя, с другой.
Примерно так же обстоит дело и с решением вариационных задач. Принцип максимума Понтрягина, метод
«блуждающей трубки» Моисеева дают возможность получения локального экстремума критерия оптимальности
(функционала). Динамическое программирование Беллмана, хотя и позволяет найти глобальный экстремум функционала,
редко используется при решении практических задач из-за серьёзных трудностей при реализации (сложность
вычислительных процедур, большие затраты времени). Классический метод Эйлера имеет ограниченную область
применения и редко используется при решении реальных задач.
Наиболее часто при решении вариационных задач в технических расчётах находит применение прямых вариационных
методов. Применение прямых вариационных методов позволяет свести задачу поиска экстремума функционала к задаче
поиска экстремума функции многих переменных.
Рассмотрим применение прямых вариационных методов на примере задачи поиска теоретически возможного выхода
целевого продукта в трубчатом реакторе. Постановка такой задачи приведена в разделе 1.1 настоящей работы (1).
Постановка задачи сводится к следующему:
а)
б)

Страницы