Методические указания по темам: "Комплексный анализ", "Ряды Фурье", "Преобразование Лапласа". Мамонова Л.И - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КузГТУ | Кемерово

Составители: 

Рубрика: 

19
б) точка
0z
является устранимой особой точкой, так как
2
1
2
sin
lim
cos1
lim
0
2
0
z
z
z
z
zz
. Значит
0Res
0
zf
z
.
в) Так как
...
42
1
1
1
11
2
1
27
2
7
8
6
8
z
z
z
zz
z
zz
z
z
при
2z
, тогда согласно определению
1
)(Res
Czf
,.
4)(Res
zf
z
.
2.3. Приложения вычетов функций.
Теорема 1.
Если функция
)(zf
аналитична на границе C области D и
всюду внутри области, за исключением конечного числа
изолированных особых точек
, то лежащих внутри
области, ограниченной контуром C и содержащий внутри себя
точки
, то
zfidzzf
n
m
z
C
m
1
Res2
,
то есть для вычисления интеграла по заданному контуру
необходимо найти особые точки функции
zf
, вычислить
сумму вычетов функции в тех особых точках, которые попадают
внутрь контура C и умножить результат на
i
2
.
Теорема 2.
Пусть функция
zf
аналитична всюду в верхней
полуплоскости, кроме конечного числа особых точек
m
z
, и
аналитична на вещественной оси. Тогда интеграл
 

dxxf
сходится и
zfidxxf
n
m
z
m

1
Res2
,
0Im
m
z
. 
     б) точка z  0 является устранимой особой точкой, так как
          1  cos z
                                      . Значит Res f z   0 .
                              sin z 1
     lim        2
                      lim
     z 0     z         z  0  2z      2             z 0

     в)                                   Так                       как
       1 z  8
                    1 z   8
                                 1       1       2 4           
                   7                  7  z   1   2  ... при
     z  2z   6
                      z        1 z  z
                                   2
                                                  z z           
      z  2 , тогда согласно определению Res f ( z )  C1 ,.
     Res f ( z )  4 .
      z 


              2.3. Приложения вычетов функций.

     Теорема 1.
     Если функция f (z ) аналитична на границе C области D и
всюду внутри области, за исключением конечного числа
изолированных особых точек z1 , z 2 ,... z n , то лежащих внутри
области, ограниченной контуром C и содержащий внутри себя
точки z1 , z 2 ,... z n , то
                                                   n

                               f z dz  2i  Res f z  ,
                                                         zm
                            C                      m1

то есть для вычисления интеграла по заданному контуру
необходимо найти особые точки функции f z  , вычислить
сумму вычетов функции в тех особых точках, которые попадают
внутрь контура C и умножить результат на 2i .
     Теорема 2.
     Пусть функция f z  аналитична всюду в верхней
полуплоскости, кроме конечного числа особых точек z m , и
                                                                         
аналитична на вещественной оси. Тогда интеграл                            f x dx
                                                                         
сходится и
                                      n

                      f x dx  2i  Res  f z  , Im z m  0 .
                                              zm
                                     m 1


                                              19

Страницы