Методические указания по темам: "Комплексный анализ", "Ряды Фурье", "Преобразование Лапласа". Мамонова Л.И - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КузГТУ | Кемерово

Составители: 

Рубрика: 

18
1
0
0
0
lim
!1
1
)(Res
k
k
zz
zz
zzzf
k
zf
.
Если
0
z
– простой полюс, то
0
0
0
limRes zzzfzf
zz
zz
.
3. Вычетом функции
)(zf
в
называется величина
G
z
dzzf
i
zf )(
2
1
)(Res
,
где G – контур, во внешности которого нет конечных
особых точек функции
)(zf
. Причем, если
z
–
устранимая точка, то
)('lim)(Res
2
zfzzf
z
z
; если
z
– m-кратный полюс, то
; если
z
–
существенно особая точка, то
1
)(Res
Czf
z
.
ПРИМЕРЫ.
Найти вычеты функций в указанных особых точках.
а)
4
3
2sin
z
z
zf
,
3z
; б)
2
cos1
)(
z
z
zf
,
0z
; в)
6
8
2
1
)(
zz
z
zf
,
z
.
Решение:
а) Определим характер особой точки.
4
3
3
2sin
lim
z
z
z
–
полюс кратности четыре, тогда
6cos
3
4
2cos8lim
6
1
3
3
2sin
lim
!14
1
Res
3
4
4
3
3
z
'''
z
z
z
zf
zz
z
. 
                    Res f ( z ) 
                   z  z0
                                  1
                               k  1! zz0
                                                    
                                         lim f z   z  z 0 
                                                                   k
                                                                          k 1
                                                                                    .

           Если z 0 – простой полюс, то
                          Res f z   lim  f z   z  z 0 .
                             z  z0        z  z0

   3. Вычетом функции f (z ) в  называется величина
                                      1
                                     2i G
                     Res f ( z )          f ( z )dz ,
                      z 

      где G – контур, во внешности которого нет конечных
      особых точек функции f (z ) . Причем, если z   –
           устранимая точка, то Res f ( z )  lim z 2  f ' ( z ) ; если z  
                                         z              z 
           – m-кратный полюс, то

           Res f ( z )  C 1 
                                   1
                                       m
                                                    
                                          lim z m 2  f z 
                                                             m 1
                                                                   ; если z   –
            z                  m  1! z  

           существенно особая точка, то Res f ( z )  C 1 .
                                                        z 


      ПРИМЕРЫ.
      Найти вычеты функций в указанных особых точках.
                                                   1  cos z
      а) f z  
                   sin 2 z
                            , z  3 ; б) f ( z )            , z  0 ; в)
                  z  3 4
                                                       z2
          1 z8
f ( z)            , z  .
        z  2z 6
      Решение:
                                                                      sin 2 z
      а) Определим характер особой точки. lim                                   –
                                                                 z 3z  34
      полюс                кратности                     четыре,                тогда
                                   sin 2 z              4  '''
       Res f z                                                      8 cos 2 z  
                       1                                         1
                            lim                 z  3      lim
        z 3        4  1!  z  3
                            z  3          4
                                                                6 z 3
           4
        cos 6
           3
      .
                                             18

Страницы