Методические указания по темам: "Комплексный анализ", "Ряды Фурье", "Преобразование Лапласа". Мамонова Л.И - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КузГТУ | Кемерово

Составители: 

Рубрика: 

20
Замечание.
Вычеты используются при вычислении интегралов типа
dtttR
2
0
sin;cos
, введя замену:
z
dz
idt
z
zсost
z
z
i
tez
it
,
1
2
1
,
1
2
1
sin,
.
При изменении t от 0 до
2
, переменная z пробегает
окружность
1z
в положительном направлении. Таким
образом
1
2
0
2
1
;
2
1
sin;cos
z
z
dz
z
z
i
z
z
RidtttR
.
ПРИМЕРЫ.
Вычислить указанные интегралы.
1)
42
2
21
2
1
z
zz
dz
i
.
Решение:
По теореме о вычетах интеграл равен:
121
1
Res
121
1
Res
121
1
Res
2112
1
21
1
42
zzzzzz
zzzzzz
dz
i
zz
z
z
0
3
1
2
1
6
1
2
21
1
lim
1
211
1
lim1
211
1
lim
2
2
11
z
zz
z
zzz
z
zzz
z
zz
.
2)
.
Решение: 
         Замечание.
         Вычеты используются при вычислении интегралов типа
2

 Rcos t; sin t dt ,
0
                                                      введя                               замену:

                 1      1             1      1          dz
z  e it , sin t    z  , сost   z  , dt  i .
                 2i     z             2      z           z
     При изменении t от 0 до 2 , переменная z пробегает
окружность z  1 в положительном направлении. Таким
образом
                                                        1     1
                  2                                z     z 
                  0 Rcos t; sin t dt  i z1 R 2i z ; 2 z  z .
                                                                    dz

                                                                 
                                                                 
     ПРИМЕРЫ.
     Вычислить указанные интегралы.
      1                  dz
  1)                          
     2i z  2 4 z  1  z  2
                     2
                                      .

         Решение:
         По теореме о вычетах интеграл равен:
          1                     dz                             1
                
         2i z  2  4 z  1z  1z  2
                                              Res
                                                z 1 z  1z  2z  1
                                                                           

                               1                                       1
          Res                                  Res                                 
            z  1  z  1 z  2  z  1       z  2  z  1 z  2  z  1


                                              z  1  lim                                z  1 
                               1                                              1
         lim
            z 1  z  1 z  1 z  2                  z  1  z  1 z  1 z  2 


                                        z  2     0
                           1                          1 1 1
         lim 2
                           
           z  2 z  1  z  2                      6 2 3
       .
        
                     dx
    2)  2                      .
        
            x  4 x  20
       Решение:
                                                      20

Страницы