Методические указания по темам: "Комплексный анализ", "Ряды Фурье", "Преобразование Лапласа". Мамонова Л.И - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КузГТУ | Кемерово

Составители: 

Рубрика: 

22
3. Ряды Фурье. Интеграл Фурье.
Рядом Фурье для функции
)(xf
в интервале
ll;
называется тригонометрический ряд
1
0
sincos
2
n
nn
l
xn
b
l
xn
a
a
,
если его коэффициенты
n
a
и
n
b
вычисляются по формулам
Фурье:
l
l
dxxf
l
a )(
1
0
;
l
l
n
dx
l
xn
xf
l
a
cos)(
1
;
l
l
n
dx
l
xn
xf
l
b
sin)(
1
.
Замечание.
Для четной функции все коэффициенты
и
соответствующий ряд Фурье не содержит синусов:
1
0
cos
2
)(
n
n
l
xn
a
a
xf
, где
l
n
dx
l
xn
xf
l
a
0
cos)(
2
.
Для нечетной функции все коэффициенты
0
n
a
и
соответствующий ряд Фурье содержит только синусы:
1
0
sin
2
)(
n
n
l
xn
b
a
xf
, где
l
n
dx
l
xn
xf
l
b
0
sin)(
2
.
ПРИМЕРЫ.
Разложить в ряд Фурье следующую функцию:
а)
20,
02,0
)(
xеслиx
xесли
xf
, на отрезке
2;2
.
Решение: В данном случае
2l
. Используя формулы
Фурье: 
             3. Ряды Фурье. Интеграл Фурье.

     Рядом Фурье для функции f (x) в интервале  l; l 
называется тригонометрический ряд
                    a0            nx          nx 
                          an cos      bn sin     ,
                     2 n1          l            l 
если его коэффициенты a n и bn вычисляются по формулам
Фурье:
           l
         1
     a0   f ( x)dx ;
         l l
                        nx
             l
          1
      an   f ( x) cos     dx ;
          l l           l
                          nx
             l
          1
      bn   
          l l
               f ( x) sin
                           l
                              dx .

     Замечание.
     Для четной функции все коэффициенты bn  0 и
соответствующий ряд Фурье не содержит синусов:
                          
                                   nx                         nx
                                                   l
                    a                            2
         f ( x)  0   an cos         , где an   f ( x) cos     dx .
                    2 n1           l            l 0            l
     Для нечетной функции все коэффициенты an  0                    и
соответствующий ряд Фурье содержит только синусы:
                 a0         nx                         nx
                                             l
                                           2
         f ( x)    bn sin     , где bn   f ( x) sin     dx .
                 2 n1        l            l 0            l

    ПРИМЕРЫ.
    Разложить в ряд Фурье следующую функцию:
                0, если  2  x  0
    а) f ( x)                      , на отрезке  2;2 .
                 x, если 0  x  2
    Решение: В данном случае l  2 . Используя формулы
Фурье:

                                     22

Страницы