Методические указания по темам: "Комплексный анализ", "Ряды Фурье", "Преобразование Лапласа". Мамонова Л.И - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КузГТУ | Кемерово

Составители: 

Рубрика: 

16
ПРИМЕР.
Классифицировать особые точки функции
а)
2
cos1
)(
z
z
zf
; б)
2
sin
)(
z
z
zf
; в)
4
1
)1(
1)1(
)(
z
ze
zf
z
.
Решение:
а) Функция аналитична везде, кроме
0z
. Эта точка
является изолированной особой точкой. Найдем
2
0
cos1
lim
z
z
z
:
2
1sin
lim
2
1
2
sin
lim
cos1
lim
00
2
0
z
z
z
z
Лопиталяправило
используя
z
z
zzz
.
Следовательно, точка
0
0
z
является устранимой особой.
б) Для функции
2
sin
)(
z
z
zf
,
0
0
z
является
изолированной
z
z
z
z
zz
2
cos
lim
sin
lim
0
2
0
, значит
0
0
z
является полюсом
кратности один.
в) Охарактеризуем для данной функции
. Ряд Лорана
в окрестности
данной функции имеет вид
...)1(
!5
1
)1(
!4
1
)1(!3
1
)1(!2
1
)(
0
2
zz
z
z
zf
Значит
является полюсом кратности два.
Замечание. Характер точки
можно классифицировать по
тому же принципу, что и конечные точки. Причем изучение
функции
)(zf
в окрестности
можно свести путем 
       ПРИМЕР.
       Классифицировать особые точки функции
                                  1  cos z                                sin z
       а)                f ( z)        2
                                             ;          б)        f ( z)  2 ;          в)
                                      z                                     z
            e z 1  ( z  1)  1
f ( z)                             .
                   ( z  1) 4
       Решение:
       а) Функция аналитична везде, кроме z  0 . Эта точка
       является изолированной особой                                 точкой. Найдем
              1  cos z
        lim                   :
         z 0       z2
               1  cos z                используя                 sin z 1        sin z 1
        lim                                                  lim         lim        
         z 0        z 2
                                  правило Лопиталя z 0 2 z                2 z 0 z      2
       .
       Следовательно, точка z 0  0 является устранимой особой.
                                                          sin z
       б) Для функции                            f ( z)  2 ,         z0  0     является
                                                           z
       изолированной
                sin z            cos z
        lim 2  lim                       , значит z 0  0 является полюсом
         z 0 z              z 0 2 z

       кратности один.
       в) Охарактеризуем для данной функции z 0  1 . Ряд Лорана
       в окрестности z 0  1 данной функции имеет вид
                             1             1          1            1
          f ( z)                                  ( z  1) 0  ( z  1)  ...
                      2!( z  1)  2
                                       3!( z  1) 4!               5!
       Значит z 0  1 является полюсом кратности два.

     Замечание. Характер точки  можно классифицировать по
тому же принципу, что и конечные точки. Причем изучение
функции f (z ) в окрестности z   можно свести путем



                                              16

Страницы