Методические указания по темам: "Комплексный анализ", "Ряды Фурье", "Преобразование Лапласа". Мамонова Л.И - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КузГТУ | Кемерово

Составители: 

Рубрика: 

28
4. Преобразование Лапласа.
Комплексная функция
tf
действительного аргумента t
называется оригиналом, если:
1) функция непрерывна и определена на всей числовой
прямой, кроме отдельных точек, где она может иметь
разрывы первого рода;
2)
0,0 tприtf
;
3)
0
,,
0
SMMetf
tS
– константы.
Изображением функции
tf
или ее преобразованием
Лапласа называется функция
pF
комплексного переменного
p, определяемого соотношением
0
dtetfpF
pt
. Обозначают
pF
tf
.
4.1. Свойства преобразования Лапласа.
1. Линейность:
tfCtfC
2211
pFCpFC
2211
.
2. Подобие:
0,
11
F
.
3. Смещение:
tfe
at
apF
.
4. Запаздывание:
itf
~
0
~
,
~
ipFe
ip
.
5. Дифференцирование оригинала:
)(' tf
)()( ofpFp
)(')()(
2
ofofppFp
)(''' tf
)('')(')()(
23
ofofpofppFp
………………………………………………………
6. Дифференцирование изображения:
)(' pF
)(ttf
)('' pF
)()1(
22
tft
………………………… 
                    4. Преобразование Лапласа.

     Комплексная функция f t  действительного аргумента t
называется оригиналом, если:
   1) функция непрерывна и определена на всей числовой
      прямой, кроме отдельных точек, где она может иметь
      разрывы первого рода;
   2) f t   0, при t  0 ;
   3)    f t   Me S0t , M , S 0 – константы.
    Изображением функции f t  или ее преобразованием
Лапласа называется функция F  p  комплексного переменного
                                                    
p, определяемого соотношением F  p    f t e  pt dt . Обозначают
                                                    0

F  p   f t  .

              4.1. Свойства преобразования Лапласа.

   1. Линейность: C1 f1 t   C2 f 2 t        C1 F1  p   C2 F2  p  .
                                     1
   2. Подобие: f t 
                                1
                                  F  ,   0 .
                                
   3. Смещение: e at f t  F  p  a  .
   4. Запаздывание: f t  i  e  p i  F  p , i  0 .
                                 ~          ~      ~
   5. Дифференцирование оригинала:
      f ' (t ) p  F ( p)  f (o)
      f ' ' (t ) p 2  F ( p)  p  f (o)  f ' (o)
      f ' ' ' (t ) p 3  F ( p)  p 2  f (o)  p  f ' (o)  f ' ' (o)
     ………………………………………………………
   6. Дифференцирование изображения:
     F ' ( p)  tf (t )
     F ' ' ( p) (1) 2 t 2 f (t )
     …………………………

                                           28

Страницы