Методические указания по темам: "Комплексный анализ", "Ряды Фурье", "Преобразование Лапласа". Мамонова Л.И - 32 стр.

     получаем операторное уравнение, относительно F  p  .
Найдя оригинал, соответствующий найденному изображению,
мы получаем частное решение исходного дифференциального
уравнения.

        ПРИМЕР.
        Найти решение xt  дифференциального                 уравнения
x' ' x'  cos t , x0  2 , x' 0  0 .
        Решение:
                      p
         cos t
                   p 1
                    2


         xt  X  p 
         x' t  pX  x0  pX  2
         x' ' t  p 2 X  px0  x' 0  p 2 X  2 p  0
        Получим операторное уравнение
                                      p
         p 2 X  2 p  pX  2  2
                                   p 1

               
         X p2  p  2
                           p
                         p 1
                                 2 p  1

            2 p3  2 p2  3 p  2
      X 
                            
               p p  1 p 2  1
     Разлагая эту дробь на элементарные дроби, получаем
            2 1 1               1      1 
     X                   2     2    ,
            p 2  p  1 p  1 p  1 
     Следовательно
                                   
     xt   2  e t  sin t  cos t .
                  1
                  2




                                        32