Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

z
C = 0 p = const
∆v
z
= 0.
1
r
d
dr
µ
r
d
dr
v
z
= 0.
v
z
= C
1
ln(r) + C
2
.
C
1
C
2
v
z
(R
1
) = v
0
, v
z
(R
2
) = 0,
v
z
v
z
= v
0
ln(r/R
2
)
ln(R
1
/R
2
)
.
Ω
1
Ω
2
R
1
R
2
R
1
< R
2
r, ϕ, z z
v
z
= v
r
= 0, v
ϕ
= v(r); p = p(r).
dp
dr
= ρ
v
2
r
,
d
2
v
dr
2
+
1
r
dv
dr
−
v
r
2
= 0.
r
n
n = ±1
v = ar +
b
r
.
Ïî óñëîâèþ ðåøàåìîé çàäà÷è, ïåðåïàä äàâëåíèÿ âäîëü îñè z îòñóòñòâóåò,
ïîýòîìó íàäî ïîëîæèòü C = 0. Òîãäà p = const, à ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòåé
íàõîäèì èç óðàâíåíèÿ
                                   ∆vz = 0.
 öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
                                   µ           ¶
                            1 d         d
                                       r vz        = 0.
                            r dr        dr
Îòñþäà
                            vz = C1 ln(r) + C2 .
Îïðåäåëÿÿ C1 è C2 èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé

                        vz (R1 ) = v0 ,       vz (R2 ) = 0,
è ïîäñòàâëÿÿ èõ â âûðàæåíèå äëÿ vz , ïîëó÷èì
                                        ln(r/R2 )
                            vz = v0                .
                                       ln(R1 /R2 )

Çàäà÷à 10.15. Âÿçêàÿ íåñæèìàåìàÿ æèäêîñòü çàêëþ÷åíà ìåæäó äâóìÿ êî-
àêñèàëüíûìè áåñêîíå÷íûìè öèëèíäðàìè, âðàùàþùèìèñÿ âîêðóã ñâîåé îñè ñ
óãëîâûìè ñêîðîñòÿìè Ω1 è Ω2 ; ðàäèóñû öèëèíäðîâ R1 è R2 ( R1 < R2 ). Íàé-
òè ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòåé è äàâëåíèÿ. Ñèëà òÿæåñòè îòñóòñòâóåò (òå÷åíèå
Êóýòòà).
Ðåøåíèå . Âûáåðåì öèëèíäðè÷åñêèå êîîðäèíàòû r, ϕ, z ñ îñüþ z ïî îñè öè-
ëèíäðîâ. Èç ñèììåòðèè î÷åâèäíî, ÷òî

                   vz = vr = 0,     vϕ = v(r); p = p(r).
Óðàâíåíèå Íàâüå-Ñòîêñà â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ äàåò â ðàññìàòðè-
âàåìîì ñëó÷àå äâà óðàâíåíèÿ:
    dp   v2
       =ρ ,                                                       (10.43)
    dr   r
    d2 v 1 dv     v
        +      −    = 0.                                        (10.44)
    dr2 r dr r2
Âòîðîå èç ýòèõ óðàâíåíèé èìååò ðåøåíèÿ òèïà rn ; ïîäñòàíîâêà ðåøåíèÿ â
òàêîì âèäå äàåò n = ±1, òàê ÷òî
                                          b
                                  v = ar + .
                                          r
                                        102

Страницы