Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

(v∇)v = v
x
∂v
∂x
+ v
y
∂v
∂y
+ v
z
∂v
∂z
= v
z
∂v
∂z
= 0,
x, y, z
∂p
∂x
= 0 ,
∂p
∂y
= 0 ,
∂p
∂z
= η∆v
z
.
p = p(z)
z r
z r
(
dp
dz
= C
η∆v
z
= C
C = const.
p = Cz + C
1
.
p
0
z = 0 p
1
z = L p
0
−p
1
= ∆p C
C
1
p = p
0
−
∆p
L
z,
η∆v
z
= C ,
v
z
r
∆
r
=
1
r
∂
∂r
µ
r
∂
∂r
.
1
r
d
dr
µ
r
d
dr
v
z
=
C
η
.
v
z
=
C
4η
r
2
+ C
2
ln(r) + C
3
.
Òàê êàê
                            ∂v         ∂v      ∂v      ∂v
                 (v∇)v = vx     + vy      + vz    = vz    = 0,
                            ∂x         ∂y      ∂z      ∂z
òî ïðîåêòèðóÿ (10.41) íà îñè x, y, z , ïîëó÷àåì
                     ∂p               ∂p                 ∂p
                        = 0,             = 0,               = η∆vz .
                     ∂x               ∂y                 ∂z
Èç ïåðâûõ äâóõ óðàâíåíèé ñëåäóåò, ÷òî p = p(z) , òî åñòü â êàæäîì ñå÷åíèè,
ïåðïåíäèêóëÿðíîì îñè òðóáû, äàâëåíèå ïîñòîÿííî. Â òðåòüåì óðàâíåíèè ëå-
âàÿ ÷àñòü çàâèñèò òîëüêî îò z , à ïðàâàÿ  òîëüêî îò r. Ïîýòîìó ïðè ëþáûõ
èçìåíåíèÿõ z è r äîëæíî áûòü
    (
         dp
            =C
         dz            C = const.                                      (10.42)
        η∆vz = C
Ðåøàÿ ïåðâîå óðàâíåíèå, íàõîäèì

                                  p = Cz + C1 .
Îáîçíà÷èì ÷åðåç p0 äàâëåíèå â ïëîñêîñòè z = 0, à ÷åðåç p1 äàâëåíèå â ïëîñ-
êîñòè z = L. Ïî óñëîâèþ çàäà÷è p0 − p1 = ∆p. Íàõîäÿ îòñþäà ïîñòîÿííûå C
è C1 , äëÿ ïîëÿ äàâëåíèÿ îêîí÷àòåëüíî èìååì
                                      ∆p
                                 p = p0 −z,
                                      L
òî åñòü äàâëåíèå ëèíåéíî óìåíüøàåòñÿ â íàïðàâëåíèè òå÷åíèÿ æèäêî ñòè.
   Äëÿ ðåøåíèÿ âòîðîãî óðàâíåíèÿ èç (10.42)

                                      η∆vz = C,
ãäå vz çàâèñèò òîëüêî îò r, âîñïîëüçóåìñÿ âûðàæåíèåì äëÿ ðàäèàëüíîé ÷àñòè
îïåðàòîðà Ëàïëàñà â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ
                                             µ           ¶
                                    1 ∂            ∂
                               ∆r =              r           .
                                    r ∂r           ∂r
Òîãäà                                 µ          ¶
                               1 d         d             C
                                          r vz       =     .
                               r dr        dr            η
Èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷àåì
                                 C 2
                          vz =      r + C2 ln(r) + C3 .
                                 4η
                                           100

Страницы