Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

p = const v
x
=
u
l
y xz
x
rot v = −
u
l
k 6= 0.
F
x
= η
u
l
, F
y
= −p
l
∆p/L L
∆p
p = p
0
−
∆p
L
x, p
0
x = 0 v
x
=
1
2η
∆p
L
y(l −y)
R
∆p/L L
∆p
z v = (0, 0, v
z
)
div v = 0
∂v
z
∂z
= 0,
v
z
= v
z
(x, y) v
z
= v
z
(r) r
ρ(v∇)v = −∇p + η∆v.
ñêîðîñòè è äàâëåíèÿ è ñèëó, äåéñòâóþùóþ ñî ñòîðîíû æèäêîñòè íà åäèíè-
öó ïëîùàäè êàæäîé èç ïëîñêîñòåé. Ñèëîé òÿæåñòè ïðåíåáðå÷ü. ßâëÿåòñÿ ëè
äàííîå òå÷åíèå ïîòåíöèàëüíûì?
                       u
Îòâåò : p = const; vx = y , (ïëîñêîñòü xz ñîâïàäàåò ñ îäíîé èç ïëîñêîñòåé,
                        l
       ìåæäó êîòîðûìè äâèæåòñÿ æèäêîñòü, îñü x íàïðàâëåíà âäîëü äâèæå-
       íèÿ æèäêîñòè). Òå÷åíèå íå ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì, òàê êàê
                                           u
                                  rot v = − k 6= 0.
                                           l
      Êîìïîíåíòû ñèëû, äåéñòâóþùåé íà åäèíèöó ïîâåðõíîñòè íåïîäâèæ-
                           u
      íîé ïëîñêîñòè: Fx = η , Fy = −p.
                              l
Çàäà÷à 10.11. Ñòàöèîíàðíûé ïîòîê íåñæèìàåìîé âÿçêîé æèäêîñòè äâè-
æåòñÿ ìåæäó íåïîäâèæíûìè ïàðàëëåëüíûìè ïëîñêîñòÿìè, íàõîäÿùèìèñÿ íà
ðàññòîÿíèè l äðóã îò äðóãà. Âäîëü íàïðàâëåíèÿ òå÷åíèÿ ïîääåðæèâàåòñÿ ïî-
ñòîÿííûé ïåðåïàä äàâëåíèÿ, ðàâíûé ∆p/L (L - äëèíà îòðåçêà, íà êîòîðîì
äàâëåíèå èçìåíÿåòñÿ íà ∆p). Íàéòè ïîëÿ äàâëåíèÿ è ñêîðîñòè. Ñèëîé òÿæå-
ñòè ïðåíåáðå÷ü.
               ∆p                                            1 ∆p
Îòâåò : p = p0 −  x, p0  äàâëåíèå íà ïëîñêîñòè x = 0; vx =       y(l − y)
               L                                            2η L
      (êîîðäèíàòû âûáðàíû òàê æå, êàê â çàäà÷å 10.10).

Çàäà÷à 10.12. Íåñæèìàåìàÿ âÿçêàÿ æèäêîñòü â îòñóòñòâèå ñèë òÿæåñòè
äâèæåòñÿ ñòàöèîíàðíûì ïîòîêîì ïî öèëèíäðè÷åñêîé òðóáå ðàäèóñà R. Ïåðå-
ïàä äàâëåíèÿ íà åäèíèöó äëèíû òðóáû ïîñòîÿíåí è ðàâåí ∆p/L (L  äëèíà
ó÷àñòêà òðóáû, íà êîòîðîì äàâëåíèå èçìåíÿåòñÿ íà ∆p ). Íàéòè ïîëÿ äàâëå-
íèÿ è ñêîðîñòè, à òàêæå îáúåì æèäêîñòè, ïðîòåêàþùåé â åäèíèöó âðåìåíè
÷åðåç ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå òðóáû.
Ðåøåíèå . Íàïðàâèì îñü z âäîëü îñè òðóáû. Òîãäà v = (0, 0, vz ) è óðàâíåíèå
íåïðåðûâíîñòè äëÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè

                                  div v = 0

ïðèâîäèòñÿ ê âèäó
                                  ∂vz
                                      = 0,
                                  ∂z
òî åñòü vz = vz (x, y) èëè, â ñèëó ñèììåòðèè çàäà÷è, vz = vz (r) , ãäå r 
ðàññòîÿíèå äî îñè òðóáû. Çàïèøåì óðàâíåíèå Íàâüå-Ñòîêñà

    ρ(v∇)v = −∇p + η∆v.                                             (10.41)

                                      99

Страницы