Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 102 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

C
2
r = 0
C C = −
∆p
L
C
3
v
z
(R) = 0,
C
3
=
R
2
4η
∆p
L
,
v
z
=
∆p
4ηL
(R
2
− r
2
).
dS =
2πr dr dV = v
z
dS v
z
r 0 R V
V =
Z
R
0
v
z
(r) dS =
Z
R
0
∆p
4ηL
¡
R
2
− r
2
¢
2πr dr =
πR
4
8η
∆p
L
R a
V =
π
8η
∆p
L
·
R
4
− a
4
−
(R
2
− a
2
)
2
ln(R/a)
¸
R
1
v
0
R
2
η
z
v = (0, 0, v
z
)
(
dp
dz
= C
η∆v
z
= C
C = const.
Ïîñòîÿííóþ C2 ñëåäóåò ïîëîæèòü ðàâíîé íóëþ, òàê êàê ñêîðîñòü äîëæíà
áûòü îãðàíè÷åííîé âî âñåõ òî÷êàõ ïîòîêà, â ÷àñòíîñòè, îíà íå äîëæíà îá-
ðàùàòüñÿ â áåñêîíå÷íîñòü ïðè r = 0. Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííîå âûøå çíà÷åíèå
                       ∆p
ïîñòîÿííîé C ( C = −      ) è íàõîäÿ C3 èç ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ
                       L
                                 vz (R) = 0,
ïîëó÷èì
                                        R2 ∆p
                                 C3 =         ,
                                        4η L
è ïîëå ñêîðîñòåé
                                    ∆p 2
                              vz =      (R − r2 ).
                                    4ηL
 åäèíèöó âðåìåíè ÷åðåç ýëåìåíòàðíîå êîëüöåâîå ñå÷åíèå ïëîùàäüþ dS =
2πr dr ïðîòåêàåò îáúåì æèäêîñòè dV = vz dS . Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà vz è èíòå-
ãðèðóÿ ïî r îò 0 äî R, ïîëó÷àåì îáúåì V æèäêîñòè, ïðîòåêàþùåé â åäèíèöó
âðåìåíè ÷åðåç ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå òðóáû
                Z R             Z R
                                     ∆p ¡ 2      ¢        πR4 ∆p
          V =       vz (r) dS =           R − r2 2πr dr =
                 0               0 4ηL                     8η L
(ôîðìóëà Ïóàçåéëÿ).

Çàäà÷à 10.13. Ðåøèòü ïðåäûäóùóþ çàäà÷ó äëÿ òðóáû ñ êîëüöåâûì ñå÷åíèåì
(âíåøíèé ðàäèóñ ðàâåí R, âíóòðåííèé  a ).
                 ·              2    2 2
                                         ¸
            π ∆p             (R   − a )
Îòâåò : V =        R4 − a4 −               .
            8η L              ln(R/a)
Çàäà÷à 10.14. Äëèííûé öèëèíäð ðàäèóñà R1 ïåðåìåùàþò âäîëü åãî îñè ñ
ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v0 âíóòðè êîàêñèàëüíîãî ñ íèì íåïîäâèæíîãî öèëèí-
äðà ðàäèóñà R2 . Ïðîñòðàíñòâî ìåæäó öèëèíäðàìè çàïîëíåíî æèäêîñòüþ ñ
êîýôôèöèåíòîì âÿçêîñòè η . Íàéòè ñêîðîñòü æèäêîñòè â çàâèñèìîñòè îò ðàñ-
ñòîÿíèÿ îò îñè öèëèíäðîâ. Ïåðåïàä äàâëåíèÿ â íàïðàâëåíèè äâèæåíèÿ îò-
ñóòñòâóåò.
Ðåøåíèå . Íàïðàâèì îñü z âäîëü îáùåé îñè êîàêñèàëüíûõ öèëèíäðîâ â ñòîðî-
íó ïåðåìåùåíèÿ âíóòðåííåãî öèëèíäðà. Òîãäà v = (0, 0, vz ). Ðàññóæäàÿ òàê
æå, êàê ïðè ðåøåíèè çàäà÷è 10.12 , èç óðàâíåíèÿ Íàâüå-Ñòîêñà ïîëó÷èì (ñì.
ôîðìóëû (10.42) óêàçàííîé çàäà÷è)
                        (
                             dp
                                =C
                             dz              C = const.
                            η∆vz = C

                                       101

Страницы