Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

S = −Et +
Z
p
2mE − (mωx)
2
dx.
E
∂S
∂E
= β,
−t +
Z
m dx
p
2mE − (mωx)
2
= β.
x =
r
2E
mω
2
sin[ω(t + β)].
x
p =
∂S
∂x
=
√
2mE cos[ω(t + β)].
z
H =
1
2m
¡
p
2
x
+ p
2
y
+ p
2
z
¢
+ mgz,
∂S
∂t
+
1
2m
"
µ
∂S
∂x
2
+
µ
∂S
∂y
2
+
µ
∂S
∂z
2
#
+ mgz = 0;
x
y
S = −E
0
t + γ
1
x + γ
2
y + W (z).
γ
1
=
∂S
∂x
= p
x
= const γ
2
= p
y
= const
ðåøèâ êîòîðîå, íàõîäèì ïîëíûé èíòåãðàë
              Z p
    S = −Et +    2mE − (mωx)2 dx.                                (9.15)

Ïîñêîëüêó ýíåðãèÿ E  îäíà èç ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ, òî èìååò ìåñòî
ñîîòíîøåíèå òèïà (9.4)
    ∂S
       = β,                                                      (9.16)
    ∂E
èëè ïîñëå ïîäñòàíîâêè (9.15) â (9.16)
                               Z
                                           m dx
                        −t +       p                    = β.
                                       2mE − (mωx)2
Èíòåãðàë ëåãêî áåðåòñÿ è ïîëó÷àåì çàêîí äâèæåíèÿ
                                   r
                                       2E
                           x=               sin[ω(t + β)].
                                       mω 2
Äèôôåðåíöèðóÿ (9.15) ïî x íàõîäèì èìïóëüñ
                             ∂S √
                        p=      = 2mE cos[ω(t + β)].
                             ∂x

Çàäà÷à 9.2. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè äëÿ ÷àñòèöû, äâèæó-
ùåéñÿ â îäíîðîäíîì ïîëå òÿæåñòè. Íàéòè ïîëíûé èíòåãðàë ýòîãî óðàâíåíèÿ,
à òàêæå çàêîí äâèæåíèÿ ÷àñòèöû è å¼ òðàåêòîðèþ.
Ðåøåíèå . Â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ ñ îñüþ z , íàïðàâëåííîé âåðòèêàëüíî
ââåðõ, ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà
                           1 ¡ 2            ¢
                        H=    px + p2y + p2z + mgz,
                          2m
à óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè èìååò âèä
              "µ ¶      µ ¶2 µ ¶2 #
                    2
     ∂S    1    ∂S       ∂S        ∂S
        +             +        +             + mgz = 0;          (9.17)
     ∂t   2m    ∂x       ∂y        ∂z
âñå ïåðåìåííûå â ýòîì óðàâíåíèè ðàçäåëÿþòñÿ, êðîìå òîãî, ïåðåìåííûå x è
y ÿâëÿþòñÿ öèêëè÷åñêèìè. Òàêèì îáðàçîì ïîëíûé èíòåãðàë èìååò âèä
    S = −E0 t + γ1 x + γ2 y + W (z).                             (9.18)
             ∂S
Çäåñü γ1 =      = px = const, γ2 = py = const.
             ∂x
                                           86

Страницы