Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

W
1
2m
"
p
2
x
+ p
2
y
+
µ
∂W
∂z
2
#
+ mgz = E
0
,
W = −
1
3m
2
g
£
2m(E
0
− mgz) − p
2
x
− p
2
y
¤
3/2
.
∂S
∂γ
1
= const = β
1
= x +
p
x
m
2
g
q
2m(E
0
− mgz) − p
2
x
− p
2
y
,
∂S
∂γ
2
= const = β
2
= y +
p
y
m
2
g
q
2m(E
0
− mgz) − p
2
x
− p
2
y
,
∂S
∂E
0
= const = β
3
= −t −
1
mg
q
2m(E
0
− mgz) − p
2
x
− p
2
y
.
p
z
p
z
=
∂S
∂z
=
q
2m(E
0
− mgz) − p
2
x
− p
2
y
.
l
S = −Et +
Z
p
2ml
2
(E + mgl cos ϕ) dϕ
t − t
0
=
1
2
Z
s
2ml
2
E + mgl cos ϕ
dϕ
α
x y
y
S = +p
0y
y +
1
3m
2
g sin α
¡
2mE − p
2
0y
+ 2m
2
gx sin α
¢
3/2
  Ïîäñòàâèì (9.18) â (9.17) è ïîëó÷èì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ W
                          "          µ        ¶2 #
                    1                    ∂W
                      p2x + p2y +                    + mgz = E0 ,
                   2m                    ∂z
êîòîðîå ëåãêî èíòåãðèðóåòñÿ
            1 £                  2
                                         ¤
                                       2 3/2
    W =−         2m(E0 − mgz) − px − p y     .                               (9.19)
           3m2 g
Ïîäñòàâèì (9.19) â (9.18) è âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (9.4)
          ∂S                      px q
              = const = β1 = x + 2      2m(E0 − mgz) − p2x − p2y ,
          ∂γ1                    mg
          ∂S                      py q
              = const = β2 = y + 2     2m(E0 − mgz) − p2x − p2y ,
          ∂γ2                    mg
          ∂S                        1 q
              = const = β3 = −t −       2m(E0 − mgz) − p2x − p2y .
         ∂E0                       mg
Ïåðâûå äâà èç ýòèõ óðàâíåíèé ïîêàçûâàþò, ÷òî òðàåêòîðèåé ÷àñòèöû ÿâëÿ-
åòñÿ ïàðàáîëà, à òðåòüå óðàâíåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàêîí äâèæåíèÿ.
   Íàéä¼ì òàêæå êîìïîíåíòó pz êàê ôóíêöèþ êîîðäèíàò
                        ∂S q
                   pz =    = 2m(E0 − mgz) − p2x − p2y .
                        ∂z

Çàäà÷à 9.3. Íàéòè ïîëíûé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè è çàêîí
äâèæåíèÿ (â êâàäðàòóðå) ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà äëèíû l.
                                          Z p
Îòâåò : Ïîëíûé èíòåãðàë: S = −Et +               2ml2 (E + mgl cos ϕ) dϕ ,
                                      Z s
                               1                  2ml2
      çàêîí äâèæåíèÿ: t − t0 =                              dϕ.
                               2              E + mgl cos ϕ

Çàäà÷à 9.4. Íàéòè ïîëíûé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè äëÿ ìà-
òåðèàëüíîé òî÷êè, äâèæóùåéñÿ ïî ãëàäêîé íàêëîííîé ïëîñêîñòè, ñîñòàâëÿ-
þùåé óãîë α ñ ãîðèçîíòîì.
Óêàçàíèå : Âûáðàòü äåêàðòîâû êîîðäèíàòû (x,y ) íà ïëîñêîñòè, íàïðàâèâ îñü
      y ïî ãîðèçîíòàëè.
                              1       ¡        2      2
                                                                 ¢3/2
Îòâåò : S =-Et +p0y y +                2mE − p 0y + 2m  gx sin α      .
                          3m2 g sin α


                                         87

Страницы