Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

q
1
S
0
(q
1
, . . . , q
s
) = γ
1
q
1
+ S
(1)
0
(q
2
, . . . , q
s
),
γ
1
q
1
∂S
0
∂q
1
H
ϕ
1
µ
q
1
,
∂S
0
∂q
1
S
0
(q
1
, . . . , q
s
) = S
1
(q
1
) + S
0
0
(q
2
, . . . , q
s
),
S
1
S
0
0
ϕ
1
µ
q
1
,
∂S
1
∂q
1
= α
1
α
1
H
µ
q
2
,
∂S
0
0
∂q
2
, . . . , q
s
,
∂S
0
0
∂q
s
, α
1
= E
S
0
0
(s − 1)
ω
H(x, p) =
p
2
2m
+
mω
2
2
x
2
.
1
2m
µ
∂S
∂x
2
+
mω
2
2
x
2
+
∂S
∂t
= 0.
S = −Et + S
0
(x).
S
0
1
2m
µ
∂S
0
∂x
2
+
mω
2
2
x
2
− E = 0,
Åñëè ïåðåìåííàÿ q1  öèêëè÷åñêàÿ, òî
                                              (1)
      S0 (q1 , . . . , qs ) = γ1 q1 + S0 (q2 , . . . , qs ),                              (9.10)

γ1  ïîñòîÿííàÿ.
                                                                    ∂S0
     Åñëè q1 è ñîîòâåòñòâóþùàÿ åé ïðîèçâîäíàÿ                           âõîäÿò â H òîëüêî â âèäå
                      µ            ¶                                ∂q1
                               ∂S0
êîìáèíàöèè ϕ1             q1 ,       , íå ñîäåðæàùåé äðóãèõ ïåðåìåííûõ, òî
                               ∂q1
      S0 (q1 , . . . , qs ) = S1 (q1 ) + S00 (q2 , . . . , qs ),                          (9.11)

ãäå S1 è S00 óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì
           µ              ¶
                    ∂S1
      ϕ1       q1 ,           = α1                                                        (9.12)
                    ∂q1
 äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå 1-ãî ïîðÿäêà, α1  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ
è
           µ                                    ¶
             ∂S00                ∂S00
      H q2 ,      , . . . , qs ,      , α1              =E
             ∂q2                 ∂qs
 óðàâíåíèå äëÿ ôóíêöèè S00                         ñ    (s − 1)  ïåðåìåííûìè.

                                          Çàäà÷è ê ãëàâå 9
Çàäà÷à 9.1. Ìåòîäîì Ãàìèëüòîíà-ßêîáè íàéòè çàêîí äâèæåíèÿ îäíîìåðíîãî
ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà ñ ÷àñòîòîé ω .
Ðåøåíèå . Ãàìèëüòîíèàí îñöèëëÿòîðà
                                                          p2   mω 2 2
                                          H(x, p) =          +     x.
                                                          2m    2
Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè
           µ         ¶2
       1        ∂S          mω 2 2 ∂S
                          +     x +    = 0.                                               (9.13)
      2m        ∂x           2      ∂t
Ïîëíûé èíòåãðàë èùåì â âèäå

      S = −Et + S0 (x).                                                                   (9.14)

Ïîäñòàâëÿåì (9.14) â (9.13) è ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äëÿ óêîðî÷åííîãî äåéñòâèÿ
S0                                        µ         ¶2
                                      1       ∂S0            mω 2 2
                                                         +       x − E = 0,
                                     2m       ∂x              2
                                                             85

Страницы