Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

∂(Q, P)
∂(q, P)
=
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
∂Q
1
∂q
1
. . .
∂Q
1
∂q
s
∂Q
s
∂q
1
. . .
∂Q
s
∂q
s
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
,
∂(q, p)
∂(q, P)
=
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
∂p
1
∂P
1
. . .
∂p
1
∂P
s
∂p
s
∂P
1
. . .
∂p
s
∂P
s
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
.
F(q, P, t)
∂Q
α
∂q
β
=
∂
∂q
β
µ
∂F
∂P
α
=
∂
2
F
∂q
β
∂P
α
=
∂
∂P
α
µ
∂F
∂q
β
=
∂p
β
∂P
α
,
D = 1.
{q
α
P
β
}
H
0
F(q, P)
H
0
=
∂F
∂t
+ H = 0.
H = H(p, q, t) p
α
F
p
α
=
∂F
∂q
α
.
H(p, q, t) p
α
∂F
∂q
α
F(q, t)
∂F
∂t
+ H
µ
∂F
∂q
α
, q
β
, t
= 0.
Âû÷èñëÿÿ ïåðâûé îïðåäåëèòåëü ïî ïîñëåäíèì ñòîëáöàì, à âòîðîé ïî ïåðâûì,
ïîëó÷àåì
                    °                     °              °                         °
                    °   ∂Q1      ∂Q1      °              °    ∂p1      ∂p1         °
                    °       ...           °              °        ...              °
                    °   ∂q1      ∂qs      °              °    ∂P1      ∂Ps         °
           ∂(Q, P) °     .. . .    .      °     ∂(q, p)  °     .. . .    .         °
                   =°
                    °     .     . ..      °,
                                          °             =°      .     . ..         °.
           ∂(q, P)  °   ∂Qs      ∂Qs      °     ∂(q, P) °°    ∂ps      ∂ps
                                                                                   °
                                                                                   °
                    °       ...           °              °        ...              °
                    °   ∂q1      ∂qs      °              °    ∂P1      ∂Ps         °

Ïîêàæåì, ÷òî ïîñëåäíèå äâà ÿêîáèàíà ðàâíû ìåæäó ñîáîé. Ïóñòü F(q, P, t)
 ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ ðàññìàòðèâàåìîãî êàíîíè÷åñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ.
Òîãäà èç (8.32) ñëåäóåò
                         µ         ¶                     µ         ¶
             ∂Qα    ∂        ∂F           ∂ 2F      ∂        ∂F            ∂pβ
                 =                     =         =                     =       ,
             ∂qβ   ∂qβ       ∂Pα         ∂qβ ∂Pα   ∂Pα       ∂qβ           ∂Pα
òî åñòü ñòîëáöû îäíîãî îïðåäåëèòåëÿ ñîâïàäàþò ñî ñòðîêàìè äðóãîãî. Ýòî
îçíà÷àåò ðàâåíñòâî ÿêîáèàíîâ, ñëåäîâàòåëüíî èõ îòíîøåíèå D = 1.


9 Ìåòîä Ãàìèëüòîíà-ßêîáè
Íàðÿäó ñ óðàâíåíèÿìè Íüþòîíà, Ëàãðàíæà è Ãàìèëüòîíà, ñóùåñòâóåò åùå
îäèí îáùèé ìåòîä ðåøåíèÿ çàäà÷è î äâèæåíèè ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû, ñóòü
êîòîðîãî ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ïîïûòàåìñÿ íàéòè ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ
(â ïåðåìåííûõ {qα ,Pβ }) òàêîãî êàíîíè÷åñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, ÷òî â íîâûõ
ïåðåìåííûõ ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà H0 òîæäåñòâåííî îáðàùàåòñÿ â íóëü. Ñî-
ãëàñíî (8.23) èñêîìàÿ ôóíêöèÿ F(q, P) óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþ
           ∂F
    H0 =      + H = 0.                                                                  (9.1)
           ∂t
Çäåñü H = H(p, q, t), íî ñòàðûå èìïóëüñû pα , ñîãëàñíî (8.23), ñâÿçàíû ñ
ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé F ñîîòíîøåíèåì
           ∂F
    pα =       .                                                                        (9.2)
           ∂qα
                                               ∂F
                                                  , ïîëó÷àåì äëÿ F(q, t)
Çàìåíÿÿ â (9.1) â ôóíêöèè H(p, q, t) èìïóëüñû pα íà
                                              ∂qα
äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà
           µ             ¶
    ∂F       ∂F
       +H        , qβ , t = 0.                                    (9.3)
    ∂t       ∂qα
                                           83

Страницы