Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

F
2
(x, y, z, P
ρ
, P
ϕ
, P
z
)
F
3
(p
x
, p
y
, p
z
, ρ, ϕ, z)
F
2
=
X
α
Q
α
(x, y, z)P
α
, α = ρ, ϕ, z, Q
ρ
= ρ, Q
ϕ
= ϕ, Q
z
= z;
F
3
= −
3
X
i=1
q
i
(ρ, ϕ, z)p
i
, q
1
= x, q
2
= y, q
3
= z.
F
2
= P
ρ
p
x
2
+ y
2
+ P
z
z + P
ϕ
arctg
x
y
F
3
= −p
x
ρ cos ϕ − p
y
ρ sin ϕ − p
z
z.
F
2
(ρ, ϕ, z, P
r
, P
θ
, P
ϕ
)
F
2
= P
r
p
ρ
2
+ z
2
+ P
θ
arctg
ρ
z
+ P
ϕ
ϕ.
Q
α
˙
Q
α
(q, p) =
X
β
∂Q
α
∂q
β
˙q
β
+
∂Q
α
∂p
β
˙p
β
˙p
β
˙
Q
α
=
X
β
∂Q
α
∂q
β
∂H
∂p
β
−
∂Q
α
∂p
β
∂H
∂q
β
.
∂H
∂p
β
=
X
γ
∂H
∂P
γ
∂P
γ
∂p
β
+
∂H
∂Q
γ
∂Q
γ
∂p
β
=
X
γ
˙
Q
γ
∂P
γ
∂p
β
−
˙
P
γ
∂Q
γ
∂p
β
,
∂H
∂q
β
=
X
γ
∂H
∂P
γ
∂P
γ
∂q
β
+
∂H
∂Q
γ
∂Q
γ
∂q
β
=
X
γ
˙
Q
γ
∂P
γ
∂q
β
−
˙
P
γ
∂Q
γ
∂q
β
.
Çàäà÷à 8.24. Íàïèñàòü ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè F2 (x, y, z, Pρ , Pϕ , Pz ) è
F3 (px , py , pz , ρ, ϕ, z), ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷å÷íîìó ïðåîáðàçîâàíèþ îò äåêàð-
òîâûõ êîîðäèíàò ê öèëèíäðè÷åñêèì.
Óêàçàíèå : Èñêàòü ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè â âèäå
                          X
                   F2 =       Qα (x, y, z)Pα , α = ρ, ϕ, z, Qρ = ρ, Qϕ = ϕ, Qz = z;
                       α

                             3
                             X
                  F3 = −           qi (ρ, ϕ, z)pi ,    q1 = x,     q2 = y,   q3 = z.
                             i=1
                  p                             x
Îòâåò : F2 = Pρ       x2 + y 2 + Pz z + Pϕ arctg ,
                                                y
                              F3 = −px ρ cos ϕ − py ρ sin ϕ − pz z.

Çàäà÷à 8.25. Íàïèñàòü ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ F2 (ρ, ϕ, z, Pr , Pθ , Pϕ ),
çàäàþùóþ ïåðåõîä îò öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàò ê ñôåðè÷åñêèì.
                  p                          ρ
Îòâåò : F2 = Pr       ρ2 + z 2 + Pθ arctg      + Pϕ ϕ.
                                             z
Çàäà÷à 8.26. Äîêàçàòü èíâàðèàíòíîñòü ôóíäàìåíòàëüíûõ ñêîáîê Ïóàññîíà
ïðè êàíîíè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ (ñîòíîøåíèÿ (8.26)).
Ðåøåíèå . Ðàññìîòðèì ïîëíóþ ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè îò íîâîé îáîáù¼í-
íîé êîîðäèíàòû Qα
                                           X ∂Qα               ∂Qα
                           Q̇α (q, p) =                q̇β +       ṗβ
                                                 ∂qβ           ∂pβ
                                            β

è âûðàçèâ ṗβ èç óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà (8.3), ïîëó÷èì
             X ∂Qα ∂H           ∂Qα ∂H
     Q̇α =                  −           .                                              (8.35)
                 ∂qβ ∂pβ        ∂pβ ∂qβ
             β

Òåïåðü âîñïîëüçóåìñÿ î÷åâèäíûìè ñîîòíîøåíèÿìè
     ∂H X ∂H ∂Pγ         ∂H ∂Qγ X ∂Pγ                 ∂Qγ
         =             +           =   Q̇γ      − Ṗγ      ,                           (8.36)
     ∂pβ   γ
             ∂P γ ∂p β   ∂Q γ ∂p β   γ
                                           ∂p β       ∂p β


     ∂H X ∂H ∂Pγ         ∂H ∂Qγ X          ∂Pγ        ∂Qγ
         =             +           =   Q̇γ      − Ṗγ      .                           (8.37)
     ∂qβ   γ
             ∂P γ ∂q β   ∂Q γ ∂q β   γ
                                           ∂q β       ∂q β



                                                81

Страницы