Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 83 стр.

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ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Q P H = H(q, p)
H
0
= H
˙
Q
α
=
X
β
∂Q
α
∂q
β
X
γ
µ
˙
Q
γ
∂P
γ
∂p
β
−
˙
P
γ
∂Q
γ
∂p
β
−
X
β
∂Q
α
∂p
β
X
γ
µ
˙
Q
γ
∂P
γ
∂q
β
−
˙
P
γ
∂Q
γ
∂q
β
.
˙
Q
α
=
X
γ
{P
γ
, Q
α
}
p,q
˙
Q
γ
+
X
γ
{Q
α
, Q
γ
}
p,q
˙
P
γ
.
Q P
˙
Q
˙
P
Q P
{P
γ
,Q
α
}
p,q
= δ
γ,α
, {Q
α
,Q
γ
}
p,q
= 0.
˙
P
α
.
Q, P, H
0
D =
∂(Q, P)
∂(q, p)
=
∂(Q, P)
∂(q, P)
∂(q, p)
∂(q, P)
,
∂(Q, P)
∂(q, P)
=
°
°
°
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∂Q
1
∂q
1
. . .
∂Q
1
∂q
s
0 . . . 0
∂Q
s
∂q
1
. . .
∂Q
s
∂q
s
0 . . . 0
∂P
1
∂q
1
. . .
∂P
1
∂q
s
1 . . . 0
∂P
s
∂q
1
. . .
∂P
s
∂q
s
0 . . . 1
°
°
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°
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,
∂(q, p)
∂(q, P)
=
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°
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°
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°
1 . . . 0
∂q
1
∂P
1
. . .
∂q
1
∂P
s
0 . . . 1
∂q
s
∂P
1
. . .
∂q
s
∂P
s
0 . . . 0
∂p
1
∂P
1
. . .
∂p
1
∂P
s
0 . . . 0
∂p
s
∂P
1
. . .
∂p
s
∂P
s
°
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.
Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü óðàâíåíèÿìè Ãàìèëüòîíà (8.19) äëÿ íîâûõ ïåðå-
ìåííûõ Q è P . Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî H = H(q, p), òî åñòü íå çàâèñèò îò âðåìåíè
ÿâíî, òàê ÷òî H0 = H. Ïîäñòàâèì (8.37) è (8.36) â (8.35):
        X ∂Qα X µ              ∂Pγ       ∂Qγ
                                               ¶        X ∂Qα X µ                ∂Pγ       ∂Qγ
                                                                                                   ¶
Q̇α =                      Q̇γ     − Ṗγ            −                        Q̇γ     − Ṗγ              .
             ∂qβ    γ
                               ∂pβ       ∂pβ                ∂pβ    γ
                                                                                 ∂qβ       ∂qβ
         β                                              β

Ïåðåãðóïïèðîâûâàÿ ñëàãàåìûå, ïîëó÷àåì
                           X                            X
                   Q̇α =        {Pγ , Qα }p,q Q̇γ +         {Qα , Qγ }p,q Ṗγ .
                            γ                           γ

Èç íåçàâèñèìîñòè íàáîðà ïåðåìåííûõ Q, P (à ñëåäîâàòåëüíî è Q̇, Ṗ ) ñëåäóþò
ïåðâîå è òðåòüå èç ñîîòíîøåíèé (8.26) äëÿ Q, P

                        {Pγ ,Qα }p,q = δγ,α ,       {Qα ,Qγ }p,q = 0.
Âòîðîå ñîîòíîøåíèå ïîëó÷àåòñÿ àíàëîãè÷íî ïðè âû÷èñëåíèè Ṗα . Àíàëîãè÷-
íûì æå îáðàçîì ìîæíî ïðîâåñòè äîêàçàòåëüñòâî äëÿ ñëó÷àÿ ÿâíîé çàâèñè-
ìîñòè âåëè÷èí Q, P, H0 îò âðåìåíè.

Çàäà÷à 8.27. Äîêàçàòü, ÷òî ÿêîáèàí êàíîíè÷åñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ðàâåí
åäèíèöå.
Ðåøåíèå . Èñïîëüçóÿ èçâåñòíîå ñâîéñòâî ÿêîáèàíîâ, çàïèøåì èñõîäíûé ÿêî-
áèàí (8.24) â âèäå äðîáè:
                                                 ∂(Q, P)
                                     ∂(Q, P)      ∂(q, P)
                             D=                =          ,
                                      ∂(q, p)     ∂(q, p)
                                                  ∂(q, P)
ãäå ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû
            °                               °              °                                       °
            ° ∂Q1         ∂Q   1            °              °                       ∂q1       ∂q1   °
            °       . . .        0  . . . 0 °              °        1...0               ...        °
            ° ∂q1         ∂q                °              °                       ∂P1       ∂Ps   °
            ° . .             s             °              °                                       °
            ° ..      . . ...    .. . . .. °
                                  .     . . °              °        .. . . ..
                                                                     . ..
                                                                                    .. . .
                                                                                     .
                                                                                               .
                                                                                            . ..   °
            °                                              °                                       °
            ° ∂Qs         ∂Q                °              °                       ∂qs       ∂qs   °
            °       . . .
                               s
                                 0  . . . 0 °              °        0...1               ...        °
  ∂(Q, P) ° °  ∂q         ∂q                °   ∂(q, p)    °                       ∂P1       ∂Ps   °
                  1           s             °              °                                       °
           =°                               °,          =°                                         °.
   ∂(q, P)  ° ∂P1         ∂P1               °   ∂(q, P) °                          ∂p1       ∂p1   °
            °       ...          1...0 °                   °        0...0               ...        °
            ° ∂q1         ∂qs               °              °                       ∂P1       ∂Ps   °
            ° . .           .     . .     . °              °           .. . . ..     .. . .    .   °
            ° ..
            °
                      . . ..      .. . . .. °
                                            °
                                                           °
                                                           °            . ..          .     . ..   °
                                                                                                   °
            ° ∂Ps         ∂P                °              °                       ∂ps       ∂ps   °
            °       . . .
                              s
                                 0  . . . 1 °              °        0...0               ...        °
            ° ∂q          ∂qs               °              °                       ∂P1       ∂Ps   °
                  1

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