Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

m ω
P, Q
q(t)
p = mωq ctg Q, P =
mωq
2
2 sin
2
Q
p =
√
2mωP cos Q, q =
r
2
mω
P sin Q p q
H =
p
2
2m
+
mω
2
q
2
2
H
0
(P, Q) = ωP
˙
Q = ω,
˙
P = 0.
Q = ω(t −t
0
), P = P
0
. q(t) =
r
2
mω
P
0
sin[ω(t −
t
0
)].
F
1
=
m
2
ω(t)q
2
ctg Q. P Q
ω(t)
q =
p
2P/(mω) sin Q, p =
√
2mωP cos Q
˙
Q = ω +
˙ω
2ω
sin 2Q,
˙
P = −P
˙ω
ω
cos 2Q
Q = a
11
q + a
12
p
P = a
21
q + a
22
p
H
0
(P, Q)
a
11
a
22
− a
12
a
21
= 1.
F(q, P)
p Q q P
p =
P − a
21
q
a
22
, Q =
q + a
12
P
a
22
,
F(q, P) =
1
2a
22
¡
a
12
P
2
+ 2Pq − a
21
q
2
¢
p Q P : p = a
11
P − a
21
Q
H =
p
2
2m
H
0
(P, Q) =
1
2m
(a
11
P − a
21
Q)
2
ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà ìàññû m ñ ÷àñòîòîé ω . Ñîñòàâèòü óðàâíåíèÿ
äâèæåíèÿ îñöèëëÿòîðà â íîâûõ ïåðåìåííûõ P, Q è ïðîèíòåãðèðîâàòü èõ.
Çàïèñàòü çàòåì çàêîí äâèæåíèÿ q(t).
                                                        mωq 2
Ðåøåíèå . Èç (8.31) íàõîäèì p = mωq ctg Q,         P =          , è îòñþäà p =
                      r                                2 sin2 Q
√                       2
    2mωP cos Q, q =       P sin Q. Ïîäñòàâëÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ äëÿ p è q â
                       mω
                                p2 mω 2 q 2
ãàìèëüòîíèàí îñöèëëÿòîðà H =       +        ïîëó÷àåì íîâûé ãàìèëüòîíèàí
                                2m     2
H0 (P, Q) = ωP . Çàïèøåì òåïåðü óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà: Q̇r = ω, Ṗ = 0. Èõ
                                                             2
ðåøåíèå Q = ω(t − t0 ), P = P0 . Îòñþäà ïîëó÷àåì q(t) =        P0 sin[ω(t −
                                                           mω
t0 )].
Çàäà÷à 8.22. Íàéòè êàíîíè÷åñêîå ïðåîáðàçîâàíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå ïðîèç-
                      m
âîäÿùåé ôóíêöèè F1 =     ω(t)q 2 ctg Q. Íàïèñàòü â íîâûõ ïåðåìåííûõ P , Q
                       2
óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ îäíîìåðíîãî îñöèëëÿòîðàñ ïåðåìåííîé ÷àñòîòîé ω(t).
           p                       √
Îòâåò : q = 2P/(mω) sin Q, p = 2mωP cos Q.
                                       ω̇                ω̇
       Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ Q̇ = ω +        sin 2Q, Ṗ = −P cos 2Q.
                                      2ω                 ω
Çàäà÷à 8.23. Ïðè êàêîì óñëîâèè ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå
                               Q = a11 q + a12 p
                               P = a21 q + a22 p
áóäåò êàíîíè÷åñêèì? Îïðåäåëèòü ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ ýòîãî ïðåîáðàçî-
âàíèÿ. Íàéòè íîâûé ãàìèëüòîíèàí ñâîáîäíîé ÷àñòèöû H0 (P, Q).
Ðåøåíèå . Èç (8.26) íàõîäèì óñëîâèå êàíîíè÷íîñòè
                             a11 a22 − a12 a21 = 1.
Ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ áóäåì èñêàòü, íàïðèìåð, â âèäå F(q, P). Äëÿ ýòîãî
âûðàçèì p è Q ÷åðåç q è P :
    P − a21 q         q + a12 P
p=            , Q=              , è, ó÷èòûâàÿ (8.32), íàõîäèì
       a22               a22
            1 ¡                         ¢
F(q, P) =       a12 P 2 + 2Pq − a21 q 2
           2a22
Òåïåðü âûðàçèì p ÷åðåç Q è P : p = a11 P − a21 Q è ïîäñòàâèì ýòî â âû-
                                                         p2
ðàæåíèå äëÿ ãàìèëüòîíèàíà ñâîáîäíîé ÷àñòèöû H =             . Ïîëó÷àåì íîâûé
                                                         2m
                             1
ãàìèëüòîíèàí H0 (P, Q) =        (a11 P − a21 Q)2 .
                            2m
                                      80

Страницы