Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

+
∂L
x
∂p
z
·
∂ϕ
∂z
−
∂L
x
∂z
·
∂ϕ
∂p
z
.
r p
r
2
p
2
(r · p)
∂ϕ
∂x
= 2x
∂ϕ
∂(r
2
)
+ p
x
∂ϕ
∂(r · p)
,
∂ϕ
∂p
x
= 2p
x
∂ϕ
∂(p
2
)
+ x
∂ϕ
∂(r · p)
L
x
= yp
z
− zp
y
{L
x
, ϕ(r, p)} = −z
·
2y
∂ϕ
∂(r
2
)
+ p
y
∂ϕ
∂(r · p)
¸
− p
z
·
2p
y
∂ϕ
∂(p
2
)
+ y
∂ϕ
∂(r · p)
¸
+y
·
2z
∂ϕ
∂(r
2
)
+ p
z
∂ϕ
∂(r · p)
¸
+ p
y
·
2p
z
∂ϕ
∂(p
2
)
+ z
∂ϕ
∂(r · p)
¸
= 0.
{L
x
, F(r p)} {L
y
, F(r p)}
{L
z
, F(r p)}
F(r p) r p
[i × F] [j × F] [k × F] i j k
q Q; q P; p Q; p P
F = F(q, Q, t), p
α
=
∂F
∂q
α
, P
α
= −
∂F
∂Q
α
;
F = F(q, P, t), p
α
=
∂F
∂q
α
, Q
α
=
∂F
∂P
α
;
F = F(p, Q, t), q
α
= −
∂F
∂p
α
, P
α
= −
∂F
∂Q
α
;
F = F(p, P, t), q
α
= −
∂F
∂p
α
, Q
α
=
∂F
∂P
α
.
                           ∂Lx ∂ϕ ∂Lx ∂ϕ
                              +·   −     ·    .
                           ∂pz ∂z    ∂z ∂pz
 îáùåì ñëó÷àå ïðîèçâîëüíàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ âåêòîðîâ r è p ìîæåò çà-
âèñåòü òîëüêî îò ñêàëÿðíàõ êîìáèíàöèé, ïîñòðîåííûõ èç ýòèõ âåêòîðîâ, r2 ,
p2 è (r · p), òàê ÷òî
          ∂ϕ       ∂ϕ            ∂ϕ      ∂ϕ         ∂ϕ          ∂ϕ
             = 2x        + p x         ,    = 2p x        + x          è ò.ä.
          ∂x      ∂(r2 )       ∂(r · p) ∂px        ∂(p2 )     ∂(r · p)
Âîñïîëüçîâàâøèñü ýòèìè ñîîòíîøåíèÿìè è îïðåäåëÿÿ ïðîèçâîäíûå äëÿ ïðî-
åêöèè ìîìåíòà èìïóëüñà èç ÿâíîãî âûðàæåíèÿ Lx = ypz − zpy , ïîëó÷èì:
                         ·                         ¸       ·                       ¸
                               ∂ϕ           ∂ϕ                  ∂ϕ          ∂ϕ
    {Lx , ϕ(r, p)} = −z 2y           + py            − pz 2py         +y
                              ∂(r2 )      ∂(r · p)             ∂(p2 )     ∂(r · p)
              ·                        ¸      ·                        ¸
                   ∂ϕ           ∂ϕ                   ∂ϕ         ∂ϕ
           +y 2z         + pz            + py 2pz          +z            = 0.
                  ∂(r2 )      ∂(r · p)              ∂(p2 )    ∂(r · p)
Àíàëîãè÷íûé ðàñ÷¼ò ïðèâîäèò ê íóëåâîìó çíà÷åíèþ è äâóõ äðóãèõ ñêîáîê
Ïóàññîíà â ïðàâîé ÷àñòè âûðàæåíèÿ (8.30), ÷òî îçíà÷àåò ñïðàâåäëèâîñòü ðà-
âåíñòâà (8.29).

Çàäà÷à 8.17. Âû÷èñëèòü ñêîáêè Ïóàññîíà à){Lx , F(r,p)}; á){Ly , F(r,p)};
â){Lz , F(r,p)},
ãäå F(r,p)  ïðîèçâîëüíàÿ âåêòîðíàÿ ôóíêöèÿ r è p.
Îòâåò : à) [i × F]; á) [j × F]; â) [k × F], ãäå i, j, k  åäèíè÷íûå âåêòîðû
       äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò.

Çàäà÷à 8.18. Çàïèñàòü êàíîíè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ, çàäàâàåìûå ïðîèçâî-
äÿùèìè ôóíêöèÿìè, çàâèñÿùèìè îò (ñì. ñîîòíîøåíèÿ (8.21), (8.23)):
à) q , Q; á) q , P; â) p, Q; ã) p, P .
Îòâåò :
                                     ∂F           ∂F
             à) F = F(q, Q, t), pα =     , Pα = −     ;                         (8.31)
                                     ∂qα          ∂Qα
                                     ∂F            ∂F
             á) F = F(q, P, t), pα =     , Qα =       ;                         (8.32)
                                     ∂qα          ∂Pα
                                       ∂F           ∂F
             â) F = F(p, Q, t), qα = −     , Pα = −     ;                       (8.33)
                                       ∂pα          ∂Qα
                                       ∂F            ∂F
             ã) F = F(p, P, t), qα = −     , Qα =       .                       (8.34)
                                       ∂pα          ∂Pα

                                          78

Страницы