Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

s
γ
α
P
α
F q P t
Q
α
F
∂F
∂P
α
= Q
α
, α = 1, . . . , s.
H
0
= 0 ⇒
˙
Q
α
= 0 ⇒ Q
α
= const
P
α
Q
α
t
q
α
q
α
= q
α
(t, P
α
, Q
α
).
p
α
= p
α
(t, P
α
, Q
α
),
2s
P
a
, Q
α
p
0
≡ p(t = t
0
) q
0
≡ q(t = t
0
)
S = S(q, t)
∂S(q, t)
∂t
+ H
µ
∂S
∂q
α
, q
α
, t
= 0
(H 6= H(t))
S(q, t) = S
0
(q) − Et
H
µ
∂S
0
∂q
α
, q
α
= E.
Åñëè ìû íàéä¼ì ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùåå s (÷èñëî ñòåïåíåé
ñâîáîäû ) ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ γα , îáîçíà÷èì èõ ÷åðåç Pα (òàêîå ðå-
øåíèå íàçûâàåòñÿ ïîëíûì èíòåãðàëîì), òî ìû ïîëó÷èì èñêîìóþ ôóíêöèþ
F (q ,P ,t).
   Íîâûå êîîðäèíàòû Qα , ñîãëàñíî (8.23), ñâÿçàíû ñ F ñîîòíîøåíèåì
    ∂F
        = Qα ,       α = 1, . . . , s.                               (9.4)
    ∂Pα
Íî â íàøåì ñëó÷àå H0 = 0 ⇒ Q̇α = 0 ⇒ Qα = const. Ïîýòîìó â ñîîòíîøåíèè
(9.4) Pα è Qα åñòü íåçàâèñÿùèå îò t ïîñòîÿííûå è ýòè ñîîòíîøåíèÿ ìîæ-
íî ðàññìàòðèâàòü êàê àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äëÿ qα , ðàçðåøèâ êîòîðûå
íàéäåì

    qα = qα (t, Pα , Qα ).                                           (9.5)

Ïîäñòàâëÿÿ òåïåðü ýòè ðåøåíèÿ â (9.2) , ïîëó÷èì

    pα = pα (t, Pα , Qα ),                                           (9.6)

òî åñòü îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ, ñîäåðæàùåå 2s ïðîèçâîëüíûõ
ïîñòîÿííûõ Pa , Qα . Ýòè ïîñòîÿííûå ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç íà÷àëüíûå óñëî-
âèÿ p0 ≡ p(t = t0 ) è q0 ≡ q(t = t0 ).
   Ïîñêîëüêó äåéñòâèå S = S(q, t) , ðàññìàòðèâàåìîå êàê ôóíêöèÿ êîîðäèíàò
è âðåìåíè, òàêæå óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèÿì (9.1) è (9.2), óðàâíåíèå (9.3)
îáû÷íî çàïèñûâàþò â âèäå
                µ             ¶
    ∂S(q, t)      ∂S
             +H       , qα , t = 0                                   (9.7)
      ∂t          ∂qα
è íàçûâàþò óðàâíåíèåì äëÿ äåéñòâèÿ èëè óðàâíåíèåì Ãàìèëüòîíà-ßêîáè.
Íóæíî ïîìíèòü, ÷òî äëÿ ðåøåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé çàäà÷è íóæíî íàéòè ïîë-
íûé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ (9.7) è âîñïîëüçîâàòüñÿ çàòåì ñîîòíîøåíèÿìè (9.2),
(9.4), (9.5), (9.6).
   Äëÿ êîíñåðâàòèâíîé (H 6= H(t)) ñèñòåìû

    S(q, t) = S0 (q) − Et                                            (9.8)

è óðàâíåíèå (9.7) äëÿ óêîðî÷åííîãî äåéñòâèÿ ïîñëå ïîäñòàíîâêè (9.8) èìååò
âèä
      µ          ¶
      ∂S0
    H     , qα       = E.                                            (9.9)
      ∂qα
                                         84

Страницы