Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

∂ρ
∂t
+ div j = 0, j = ρv
∂(ρs)
∂t
+ div j
s
= 0, j
s
= ρsv
∂(ρv
i
)
∂t
+
3
X
k=1
∂Π
ik
∂x
k
= 0,
Π
ik
= pδ
ik
+ ρv
i
v
k
i
x
k
t = t
0
s(p, ρ) = s
0
= const,
∂v
∂t
+ (v∇)v = −∇w
∂v
∂t
− [v × rot v ] = −∇
µ
w +
v
2
2
.
w
∇p = ρg.
µ
∂v
∂t
= 0
v
2
2
+ w + gz = const ≡ B
B
ρ = const
v
2
2
+
p
ρ
+ gz = const.
Ïîëíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé (10.1), (10.2), (10.4) ìîæíî çàïèñàòü â ôîðìå
óðàâíåíèé äëÿ ïîòîêîâ:
      ∂ρ
         + div j = 0, j = ρv  ïëîòíîñòü ïîòîêà æèäêîñòè,           (10.5)
      ∂t
      ∂(ρs)
             + div js = 0, js = ρsv  ïëîòíîñòü ïîòîêà ýíòðîïèè,    (10.6)
       ∂t
                 3
      ∂(ρvi ) X ∂Πik
             +            = 0,                                      (10.7)
        ∂t           ∂xk
                 k=1
Πik = pδik + ρvi vk  òåíçîð ïëîòíîñòè ïîòîêà èìïóëüñà (êîëè÷åñòâî i -òîé
êîìïîíåíòû èìïóëüñà, ïðîòåêàþùåãî â åäèíèöó âðåìåíè ÷åðåç åäèíè÷íóþ
ïëîùàäêó, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ îñè xk ).
   ×àñòíûå ñëó÷àè äâèæåíèÿ èäåàëüíîé æèäêîñòè:
1. Èçýíòðîïè÷åñêîå äâèæåíèå: â íà÷àëüíûé ìîìåíò t = t0 ýíòðîïèÿ îäèíàêîâà
âî âñåì îáúåìå æèäêîñòè.  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå (10.3) èìååò âèä
      s(p, ρ) = s0 = const,                                         (10.8)
à (10.2) ìîæíî çàïèñàòü â äâóõ ýêâèâàëåíòíûõ ôîðìàõ
      ∂v
         + (v∇)v = −∇w                                              (10.9)
      ∂t
èëè
                           µ       ¶
      ∂v                        v2
         − [v × rot v] = −∇ w +      .                             (10.10)
      ∂t                        2
Çäåñü w  òåïëîâàÿ ôóíêöèÿ (ýíòàëüïèÿ) åäèíèöû ìàññû æèäêîñòè.
2. Óðàâíåíèå ìåõàíè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ (ïîêîÿùàÿñÿ æèäêîñòü):
      ∇p = ρg.                                                     (10.11)
                                    µ        ¶
                                        ∂v
3. Ñòàöèîíàðíîå òå÷åíèå æèäêîñòè           =0 :
                                        ∂t
    v2
       + w + gz = const ≡ B                                      (10.12)
     2
 óðàâíåíèå Áåðíóëëè äëÿ ëþáîé òðàåêòîðèè ( ëèíèè òîêà) æèäêîé ÷àñòèöû.
Äëÿ ðàçíûõ òðàåêòîðèé êîíñòàíòû B  ðàçëè÷íû.
Óðàâíåíèå Áåðíóëëè äëÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè (ρ = const):
      v2 p
        + + gz = const.                                            (10.13)
      2  ρ
                                     90

Страницы