Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

F
n
F
i
= pn
i
−
X
k
σ
ik
n
k
.
Ω
ρ
p
0
z
r v = [Ω × r]
v
x
= −Ωy v
y
= Ωx v
z
= 0
1
ρ
∂p
∂x
= Ω
2
x,
1
ρ
∂p
∂y
= Ω
2
y,
1
ρ
∂p
∂z
= −g.
p =
1
2
ρΩ
2
(x
2
+ y
2
) −ρgz + p
0
.
z = 0
p =
1
2
ρΩ
2
(x
2
+ y
2
) + p
0
.
p = 0
z =
Ω
2
2g
(x
2
+ y
2
) +
p
0
ρg
,
r ϕ z
v = Ωre
ϕ
, ∇ = e
r
∂
∂r
+ e
ϕ
1
r
∂
∂ϕ
+ e
z
∂
∂z
.
   Ñèëà F, äåéñòâóþùàÿ íà åäèíèöó ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè, ñîïðèêàñàþùåé-
ñÿ ñ æèäêîñòüþ (n  åäèíè÷íûé âåêòîð âíåøíåé íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè
æèäêîñòè):
                 X
    Fi = pni −        σik nk .                                       (10.20)
                 k


                                 Çàäà÷è ê ãëàâå 10
Çàäà÷à 10.1. Öèëèíäðè÷åñêèé ñîñóä âìåñòå ñ íàõîäÿùåéñÿ â íåì íåñæèìàå-
ìàåìîé æèäêîñòüþ âðàùàåòñÿ â îäíîðîäíîì ïîëå òÿæåñòè âîêðóã ñâîåé îñè ñ
ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ Ω. Âíåøíåå äàâëåíèå íà æèäêîñòü ðàâíî íó-
ëþ. Ïëîòíîñòü æèäêîñòè ρ. Îïðåäåëèòü: 1) ïîëå äàâëåíèÿ; 2) äàâëåíèå íà äíå
ñîñóäà, åñëè äàâëåíèå â öåíòðå äíà ðàâíî p0 ; 3) ôîðìó ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè
æèäêîñòè. Çàäà÷ó ðåøèòü â äåêàðòîâûõ è öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ.
Ðåøåíèå . Ðàñïîëîæèì íà÷àëî êîîðäèíàò â öåíòðå äíà ñîñóäà, îñü z íàïðàâèì
ïî åãî îñè. Ñêîðîñòü æèäêîñòè â òî÷êå ñ ðàäèóñâåêòîðîì r åñòü v = [Ω × r].
Èñïîëüçóåì äåêàðòîâû êîîðäèíàòû. Òîãäà vx = −Ωy , vy = Ωx, vz = 0. Óðàâ-
íåíèå íåïðåðûâíîñòè âûïîëíÿåòñÿ àâòîìàòè÷åñêè (ïðîâåðüòå!), à óðàâíåíèå
Ýéëåðà äàåò
                     1 ∂p             1 ∂p           1 ∂p
                          = Ω2 x,          = Ω2 y,        = −g.
                     ρ ∂x             ρ ∂y           ρ ∂z
Îòñþäà
        1
    p = ρΩ2 (x2 + y 2 ) − ρgz + p0 .                                 (10.21)
        2
Ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèÿ íà äíå ñîñóäà ïîëó÷èì, ïîëîæèâ â (10.21) z = 0:
        1
    p = ρΩ2 (x2 + y 2 ) + p0 .                                       (10.22)
        2
Íà ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè p = 0. Ïîäñòàâëÿÿ (10.22) â (10.21), èìååì:
       Ω2 2           p0
    z=    (x + y 2 ) + ,                                             (10.23)
       2g             ρg
òî åñòü ñâîáîäíàÿ ïîâåðõíîñòü æèäêîñòè ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëîèäîì. Èç (10.22),
(10.23) ñëåäóåò, ÷òî äàâëåíèå â íåêîòîðîé òî÷êå äíà îïðåäåëÿåòñÿ âûñîòîé
ñòîëáà æèäêîñòè íàä ýòîé òî÷êîé.
   Ïðè ðåøåíèè çàäà÷è â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ r,ϕ,z ñëåäóåò ó÷åñòü,
÷òî â ýòîì ñëó÷àå
                                             ∂       1 ∂      ∂
                     v = Ωreϕ ,     ∇ = er      + eϕ      + ez .
                                             ∂r      r ∂ϕ     ∂z
                                          92

Страницы