Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

A
l
B
l
φ
0
=
∞
X
l=0
(A
l
r
l
+ B
l
r
−l−1
)P
l
(cos ϑ).
A
l
= −Uδ
1l
;
A
l
la
l−1
− B
l
(l + 1)a
−l−2
= 0,
B
l
= −
U
2
a
3
δ
1l
.
φ
0
= −U(r +
a
3
2r
2
) cos ϑ.
v
0
|
r=a
= v
0
ϑ
|
r=a
=
3
2
U sin ϑ.
ϑ = 0, π, v
0
= 0
p
p
∞
+
ρU
2
2
= p + ρ
9
8
U
2
sin
2
ϑ, p = p
∞
+
ρU
2
2
(1 −
9
4
sin
2
ϑ).
S
U S v = U v
0
φ v φ
0
φ = Ur + φ
0
φ = −
a
3
U
2
cos ϑ
r
2
.
a
ãäå Al è Bl  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå. Ñëåäîâàòåëüíî, ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
Ëàïëàñà ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
                               ∞
                               X
                         0
                        φ =           (Al rl + Bl r−l−1 )Pl (cos ϑ).
                                l=0

Èñïîëüçóÿ ãðàíè÷íîå óñëîâèå íà áåñêîíå÷íîñòè, èìååì

                                        Al = −U δ1l ;

èç óñëîâèÿ íà ïîâåðõíîñòè øàðà

                             Al lal−1 − Bl (l + 1)a−l−2 = 0,

òàê ÷òî
                                    U
                             Bl = − a3 δ1l .
                                     2
Òàêèì îáðàçîì, íàõîäèì ðåøåíèå çàäà÷è îá îáòåêàíèè íåïîäâèæíîãî øàðà â
âèäå
                                       a3
                         φ0 = −U (r + 2 ) cos ϑ.
                                       2r
Ñêîðîñòü òå÷åíèÿ íà ïîâåðõíîñòè øàðà ðàâíà
                         3
    v 0 |r=a = vϑ0 |r=a = U sin ϑ.                                               (10.28)
                         2
Èç (10.28) âèäíî, ÷òî ïðè ϑ = 0, π, v0 = 0. (Òàêèå òî÷êè íàçûâàþòñÿ êðèòè-
÷åñêèìè). Ïîñêîëüêó ïîòîê ïðè îáòåêàíèè øàðà ñòàöèîíàðåí, âîñïîëüçóåìñÿ
óðàâíåíèåì Áåðíóëëè äëÿ îïðåäåëåíèÿ äàâëåíèÿ p æèäêîñòè íà øàð
               ρU 2        9                                ρU 2     9
          p∞ +      = p + ρ U 2 sin2 ϑ,            p = p∞ +      (1 − sin2 ϑ).
                2          8                                 2       4
Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è î òå÷åíèè ïîêîÿùåéñÿ íà áåñêîíå÷íîñòè æèäêîñòè ïîä
äåéñòâèåì äâèæóùåãîñÿ øàðà, ïåðåéä¼ì â ñèñòåìó S , îòíîñèòåëüíî êîòîðîé
ñêîðîñòü øàðà ðàâíà U. Îòíîñèòåëüíî S ñêîðîñòü òå÷åíèÿ v = U+v0 , îòêóäà
ñëåäóåò, ÷òî ïîòåíöèàë φ ñêîðîñòè v ñâÿçàí ñ ïîòåíöèàëîì φ0 ñîîòíîøåíèåì
φ = Ur + φ0 , òî åñòü
                                          a3 U cos ϑ
                                      φ=−            .
                                           2 r2
Çàäà÷à 10.3. Èç íåñæèìàåìîé æèäêîñòè, çàïîëíÿþùåé âñå ïðîñòðàíñòâî,
âíåçàïíî óäàëÿåòñÿ ñôåðè÷åñêèé îáúåì ðàäèóñà a. Îïðåäåëèòü âðåìÿ, â òå-
÷åíèå êîòîðîãî îáðàçîâàâøàÿñÿ ïîëîñòü çàïîëíèòñÿ æèäêîñòüþ.

                                              94

Страницы